초등학교 아동의 나눗셈 전략 분석

Abstract

비형식적 수학(informal mathematics)이란 학교에서 가르치는 기호와 상징체계로 이루어진 형식적인 수학이 아닌, 아동이 학교의 형식적인 수업이외의 일상적인 수학적 문제를 해결해 나가는 과정에서 능동적으로 구성한 지식을 의미하는 것으로, 과거의 기계적인 접근에서 벗어나 수학적인 사고력과 문제 해결력에 초점을 두고 있는 현대 초등수학교육에서 수학 교수학습의 핵심적인 토대로 강조되고 있다. 이에 따라 우리나라 6차 교육과정에서도 추상적인 수학적 개념을 지도하는데 있어 초등수학의 비형식성과 직관성에 근거하여 구체적인 조작활동을 통해 수학화가 이루어지도록 명시하고 있다. 그러나 실제 이같은 아동이 구성한 수학적 지식에 대한 이해와 지식이 부족하여 연산에 있어 아직까지도 정확하고 빠른 계산 기능의 숙달을 강조하고 있으며, 가장 어려운 연산인 나눗셈을 지도하는데 있어서도 아동 수학의 바탕이 되는 실제 맥락과의 연관성이 부족하여 원래의 의도를 실현하지 못하고 있다. 따라서, 아동의 수학적인 지식을 토대로 보다 효과적인 나눗셈을 지도하기 위해서는 초등학교 아동들이 학교에서 가르치는 형식적인 나눗셈 수업을 받기 전에 갖고 있는 나눗셈 전략에 대한 연구가 필요하다. 이에 본 연구에서는 아동들이 구성한 수학적 지식을 토대로 한 보다 효과적인 나눗셈을 지도하기 위한 기초 자료로서, 초등학교 아동들의 나눗셈 전략 특성을 밝히는 것을 목적으로, 보다 세부적으로 학년별, 문제 유형별, 문제 수준별로 나눗셈 전략에 어떠한 차이가 있는지를 분석하려는데 있다. 본 연구에서 제시한 연구 문제는 다음과 같다. 1. 초등학교 아동의 나눗셈 전략 유형은 어떠한가? 2. 초등학교 아동의 나눗셈 전략 유형은 학년별로 어떠한 특성이 있는가? 3. 초등학교 아동의 나눗셈 전략 유형은 문제 유형별로 어떠한 특성이 있는가? 4. 초등학교 아동의 나눗셈 전략 유형은 문제 수준별로 어떠한 특성이 있는가? 이와 같은 연구문제를 위하여 표집된 연구 대상은 초등학교 1, 2, 3학년 아동들 각 20명씩 총 60명이었다. 본 연구에서 사용된 검사도구는 우리나라 초등학교 수학 교과서에서 제시되고 있는 2학년과 3학년 나눗셈 문제가운데 대표적인 문제 8개와 연구자가 고안한 예비문제들로서, 각 문제는 아동이 쉽게 이해할 수 있도록 그림으로 제시하였으며, 필요시 구체물과 지필도구도 제시하여 다양한 방식으로 해결할 수 있도록 하였다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 우리나라 초등학교 아동들의 나눗셈 과제 수행 두 정답률이 70%이상으로 높게 나타났다. 또한 정답을 전략을 살펴 본 결과 크게, 모델링, 중복세기, 동수누가, 동수누감, 이등분, 아는 부분으로 나누기, 곱셈구구, 교과서에서 제시한 세로셈 전략으로 나타났다. 둘째, 학년별 나눗셈 전략 특성을 분석한 결과, 1학년 아동들의 경우, 동수누가전략과 모델링 전략, 이등분전략이 타학년에 비해 높게 나타난 반면, 2학년 아동들은 승수를 자신들이 알고 있는 부분으로 나누어 해결한 아는 부분으로 나누기전략이 50.8%로 높게 나타났으며, 타 학년에 비해 매우 다양한 나눗셈 전략들을 활용하고 있었다. 이와 달리 형식적인 나눗셈 수업을 받은 3학년 아동들이 과반수 이상(58.99%)이 교과서에서 제시된 세로셈 전략을 사용하였으며, 아는 부분으로 나누기 전략을 사용한 아동들이 20.14%로 나타났다. 또한 오류 유형을 분석한 결과, 1학년은 문제의 난이도와 덧셈구구로 인한 오류가 많은 반면에, 2학년 아동들은 문제의 맥락에 대한 이해 부족에서 생긴 연산선택의 오류 특히 단순히 곱셈구구를 적용한 오류가 가장 많았으며, 3학년 아동들은 교과서에서 제시된 세로셈 전략에서 생긴 오류가 가장 많았다. 세째, 나눗셈의 문제 유형에 따른 전략을 분석한 결과, 등분제 문제가 포함제 문제보다 수행 결과가 더 높게 나타났으며, 등분제 문제에서 추상화수준이 더 높은 전략을 보다 많이 사용하여 아동들이 등분제보다 포함제를 더 어려워하는 경향을 나타냈다. 문제 유형에 따른 전략 유형을 볼때, 직접적인 모델링전략에서 차이가 있었으며, 이밖에 포함제문제에는 중복세기를, 등분제문제에는 이등분전략을 사용함으로써 문제 유형에 따른 전략유형에 약간의 차이를 나타냈다. 학년별로 볼 때, 1학년은 포함제 문제에서 모델링에 의존한 반면, 등분제 문제에서 동수누가전략을 많이 사용하고 있었으며, 2학년의 경우에는 포함제 문제에서 동수누감 전략과 아는 부분으로 나누기전략을, 등분제 문제에서 아는 부분으로 나누기전략 사용이 높게 나타났다. 그러나, 3학년의 경우에는 두 문제 유형에 상관없이 세로셈 전략이 높게 나타났다. 네째, 나눗셈의 문제 수준에 따른 아동들의 전략을 분석한 결과, 문제 수준이 높아질수록 다양한 전략을 사용하였는데, 1학년의 경우 모델링전략과 중복세기전략, 이등분전략, 아는 부분으로 나누기 전략을 사용하였으며, 2학년의 경우 모델링전략과 아는 부분으로 나누기전략을 사용하였다. 그러나, 3학년 아동들은 문제 수준이 높아질수록 자신이 개발한 아는 부분으로 나누기 전략에서 교과서에서 제시된 세로셈 전략으로 변화하였다. 이상의 연구 결과를 종합해 볼 때, 전체적으로 우리나라 초등학교 아동들의 나눗셈 전략 유형은 선행 연구에서 살펴본 외국 아동들보다 다양하고 포괄적으로 나타났으며, 학년에 따라, 문제 유형에 따라, 그리고 문제 수준에 따라 나눗셈 전략 사용에 있어 차이를 나타냈다. 본 연구결과 나타난 아동들의 다양한 나눗셈 전략 특성과 교과서에서 제시된 세로셈 전략을 사용한 데서 나타난 오류는, 수학적인 사고력과 문제 해결력이 강조되고 있는 현대 초등수학교육에 있어서 학교 수학 전반에 내재한 정확성과 신속성을 강조하는 기계적인 접근에 대한 반성과 아울러, 학교 수학 학습의 중요한 자원인 아동들의 다양하고 창의적인 전략을 활성화시키고 실제 아동의 수학적인 지식을 교육과정에 보다 체계적으로 반영하기 위한 연구와 노력이 필요함을 시사해 주고 있다. 따라서 아동들이 구성한 수학적 지식을 바탕으로 교육과정을 재구성하기 위해서는 무엇보다도 학교의 형식적 수학을 지도하기에 앞서서 초등수학 전영역에 걸쳐 학령전 아동부터 학령기 아동들이 구성한 수학에 대한 연구가 선행되어야 할 것이며, 이러한 아동의 수학이 학교의 형식적인 수학과 연결되기 위한 교수 방법에 대한 연구가 이루어져야 할 것이다.;Informal mathematics can be characterized as knowledge constructed by the individual child through his mathematical experience in the context of real-world situations familiar to him before formal instruction. and the purpose of this study is to analyze the informal division strategy they use before formal instruction and for this purpose, to analyze the differences of strategies according to their grades, problem types, and problem levels. To investigate these questions, 60 children of the first, second and third grade children(20children per each grade)were interviewed with the problems drawn from the mathematics text books(the second and the third grade) and each problem is presented as pictures and when needed, presented with concrete materials, pencils and papers. The questions of the study were as following： 1. What is the types of division strategy used by Korean elementary school children? 2. What is the characteristics among grades in using the division strategy? 3. What is the difference of strategies according to problem types? 4. What is the difference of strategies according to problem levels? The results were in the following： First, the types of informal division strategies used by grade 1, 2, and 3 children can be characterized with modeling, double counting, repeated addition, repeated subtraction, halving, splitt into known part(S.K.P), multiplication fact, Second, grade 1 used repeated addition, modeling, halving mostly, about 1/2 of grade 2 used S.K,P, showing that they use more multiple strategies than other grades. In contrast, about 3/5 of grade 3 used formal algorithm, showing that they depended on formal algorithm. Resulted from error analysis, grade 1 made errors for problem difficulty and the addition fact, grade 2 committed errors because they applied the inapproaprete operation(especially, the multiplication fact) to division problem and grade 3 did in using the formal algorithm. Third, partitive division is easier than measurement division to Korean children and more abstract strategies are used in partitive division than in measurement division. As to problem types, there are some diffenrences in the use of strategy, that is, double counting strategy is used only in the measurement division and halving strategy is used only in the partitive division. As the problem levels increase, more multiple strategies are used. As levels increased, grade I used modeling, double counting, halving, S.K.P and grade 2 used modeling, and S.K.P. but the grade 3 changed from the informal S.K.P strategy to formal algorithm. These results of study have the following implication. First, children's informal mathematics could be a good learning resources. So more research on mathematics constructed by children should be preceded. Second, more research should be needed to mediate these children's informal knowledge with formal mathematics.