중학교 3학년 수학 교과서의 대푯값과 산포도에 대한 요약개념 관점의 분석

Abstract

이 논문은 초．중．고등학교 과정 중 중학교 3학년 통계단원에 나타난 요약 개념과 내용 연계성에 대한 연구이다. 요약 개념은 추론하고자 하는 모집단의 정보에 합목적적인, 즉 타당한 표본의 정보가 무엇인가 또는 주어진 자료를 어떻게 요약해야 목적에 부합되는 요약이 될 것인가를 고려할 때 이 과정의 이해에 필요한 개념을 의미한다. 통계는 대개 어떤 현상에 대한 실증적 근거, 즉 정당화의 한 방법으로서 사용된다. 따라서 주장하려는 바에 대한 근거가 될 수 있는 통계를 구해야 한다. 가령 두 회사 사원들의 월급이 어느 회사가 더 많은지를 비교하려는 데 두 회사의 사원들의 월급의 표준편차를 구해서 비교한다면 이는 타당한 비교라고 할 수 없다. 타당한 통계에 관하여 일반적으로 관련 분야에서 잘 정리하여 사용하고 있다. 가령 경제 분야에서는 물가지수, 지니계수 등 일반인들이 알기 어려운 통계들이 많다. 그러나 모든 학문 분야 또는 실용 분야에서 대표적인 통계로 사용되는 자료값들의 크기(중심경향값)에 대한 요약과 자료 값들의 크고 작음의 변화정도(산포도)에 대한 요약의 두 가지는 매우 중요하고 일반적이다(이영하, 2009). 따라서 본 연구에서는 통계교육에서 핵심적인 통계적 개념을 분포, 요약, 표본의 세 가지로 제안한 이영하, 남주현(2005)의 연구를 통해 남주현(2007)이 제안한 요약개념 중 '대푯값의 정의와 합목적성', '산포도의 정의와 실용성', '분포의 대푯값과 산포도', '위치 보존성과 단위 보존성'을 바탕으로 중학교 3학년 14종 교과서에서 통계단원을 분석하였다. 본 연구의 연구과제는 아래와 같이 정하였다. 1. 제 7차 개정교육과정에 따른 중학교 3학년 교과서 통계단원의 대푯값과 산포도에 대한 요약개념 관점의 설명은 적절한가? 2. 제 7차 개정교육과정에 따른 중학교 3학년 교과서 통계단원의 대푯값과 산포도 단원에 대한 요약개념은 연계성 있게 조직되어 있는가? 교과서 분석결과에 비추어 요약개념과 함께 내용연계성 측면에서 개선되어야 할 점을 제안하면 크게 네 가지로 요약된다. 첫째, 7차 개정 교육과정의 교과서에서 교과서들의 서술 방식이 대푯값의 정의로써 적절한지 또한 대푯값의 정의에 비추어 볼 때 얻은 계산결과의 합목적성을 평가하고 있는지에 대해 살펴보았다. 그 결과, 대푯값의 정의가 적절하지 못할 뿐만 아니라 대푯값의 합목적성에 대한 언급도 없었다. 더욱이 중앙값을 도입할 때, 중앙값을 계산하는 과정만 설명한 교과서도 있었다. 따라서 대푯값의 정의를 올바르게 서술하며, 대푯값의 합목적성에 대한 언급도 필요하다. 둘째, 교과서들의 서술 방식에서 산포도의 정의는 적절하며, 산포도의 실용적 중요성에 대해 언급하고 있는가에 대하여 살펴보았다. 그 결과, 산포도의 정의는 적절한 편이었으며 실용적인 측면에 대해서는 산포도의 실용성에 관한 구체적인 이야기를 예로 들어 설명하고 있는 교과서가 6종이었는데, 이 6종 중에서도 5종의 교과서가 동일한 예를 들어 산포도의 실용성을 설명하고 있었다. 따라서 조금 더 다양한 이야기를 예로 들어 학생들에게 산포도의 실용성을 설명해 주는 것이 더 바람직하다. 셋째, 자료가 아닌 분포의 대푯값과 산포도를 소개하고 있는지 또 이 과정에서 대푯값과 기댓값의 연결이 자연스럽게 연계될 수 있는지에 대해 살펴보았다. 그 결과, 분포의 대푯값에 대해서는 14종 중 8종이 다루고 있었으며, 분포의 산포도에 대해서는 14종이 다루고 있었으나 다양한 분포에 대해서는 다루고 있지 않았고, 그 문제 수도 매우 적었다. 또한 대푯값과 이후 확률분포의 기댓값의 연계성 문제에서는 대푯값과 기댓값이 어떠한 연관 관계가 있는지에 대해 알 수 있는 내용적 요소나 문제는 전혀 다루고 있지 않았다. 이는 자료의 평균, 즉 각 자료의 합을 도수의 총합으로 나누는 평균의 값과 이후 확률 분포에서의 기댓값을 자연스럽게 연결을 짓지 못하며 심지어는 평균과 기댓값을 다른 것으로 보는 오개념을 낳을 수 있다. 따라서, 다양한 분포에 대한 대푯값과 산포도에 대한 문제를 다루어야 하며, 이 과정에서 대푯값과 기댓값의 연결을 자연스럽게 연계될 수 있도록 해야 한다. 넷째, 대푯값의 위치 보존성과 단위 보존성, 산포도의 위치 불변성과 단위 보존성이 소개되어 있는가에 대해 살펴보았다. 그 결과, 이를 직접적으로 언급하고 있지는 않았고, 문제로써 간접적으로 대푯값의 위치보존성과 단위보존성, 산포도의 위치불변성과 단위보존성을 언급하고 있었다. 그러나 이 둘을 모두 언급한 교과서는 5종에 불과하였다. 또한 5종 중 어떤 상황에서 위치 보존성과 단위 보존성이 필요한지 그 상황을 제시한 교과서는 1종에 불과하였다. 따라서 어떤 상황에서 위치 보존성과 단위 보존성이 필요한지 상황을 제시할 뿐만 아니라 합목적성이 있는 대푯값과 산포도라면, 각각 위치 보존성과 단위 보존성 등과 관련하여 어떤 성질을 갖추어야 하는지, 또 그런 관점에서 평균이나 중앙값, 최빈값, 범위, 표준편차 등은 그런 성질을 갖춘 통계라고 할 수 있는지에 대한 구체적인 언급이 제시되어야 한다.;This thesis is the concept of summary that appeared in the chapter of statistics in the third grade of middle school among elementary, middle school and high school courses, and research on connectivity in contents. The concept of summary means the concept that requires for understanding this course, when considering whether the information is teleological about the information of population who are trying to deduce, which means what the information of reasonable example is, or how data can be summarized in order to meet the purposes. Statistics usually are used for empirical basis, in other words, one method of justification, regarding certain phenomenon. Therefore, the statistics that shows the basis on what you are trying to insist should be achieved. For example, when comparing which employee among two employees from different companies gets higher monthly pay, if standard deviations of monthly pays of two employees are compared to each other, this comparison cannot be reasonable. In regard to the reasonable statistics, generally related areas are well organized and used. For example, in economy area, there are difficult statistics for ordinary people, including price index, Gini's coefficient, etc. However, the two kinds of concept regarding concepts on sizes of data values (measure of central tendency) that are used for representative statistics in all academic and practical areas, and degrees of changes(a measure of dispersion) on whether the data values are small or big, are very important and general (Lee Young-ha, 2009). Therefore, through researches from Lee Young-ha, and Nam Joo-hyun (2005) suggesting statistical concepts by three types, including distribution, summary, and sample, in statistical education, based on one of the concepts of summary suggested by Nam Joo-hyun(2007) called 'the definition and purposefulness of representative values', 'the definition and practicability of a measure of dispersion ', 'representative values and a measure of dispersion of distribution', and 'location preserving and scale preserving', we analyzed the statistics chapter in 14 versions of textbook of the third grade in middle school. Research assignments of this research are the following: 1. On the basis of the 7th revision of education course, are the representative values and the measures of dispersion appropriately described in the 9th grade textbook? 2. The representative values and the measures of dispersion are articulated properly in terms of the concept of summary. Reflecting on the analytic results of textbook, there are four suggestions of improvement from the aspect of content connectivity with the concept of summary. First, In the textbook of 7th revision of education course, we studied on whether the ways of description are appropriate as a definition of representative value, and whether purposefulness of calculated results that are acquired is evaluated when reflecting on the definition of representative value. As a result, the definition of representative value was inappropriate, as well as purposefulness of representative values was not mentioned at all. Moreover, when median is introduced, there was a textbook that only explains the process of calculating median. Therefore, it is necessary to describe the definition of representative value appropriately, and the mention about purposefulness of representative value. Second, in ways of description in textbook, we examined whether the definition of a measure of dispersion is proper, and whether the practical importance of a measure of dispersion is mentioned or not. As a result, the definition of a measure of dispersion was proper. Also, regarding the practical aspect, version 6 was the textbook explaining detailed stories about practicability of a measure of dispersion as an example, and out of version 6, the textbook of version 5 used the same example to explain practicability of a measure of dispersion. Therefore, it is more advisable to explain practicability of a measure of dispersion using more various examples to students. Third, we examined whether representative value and a measure of dispersion of distribution, not data, are introduced and during this course, we also examined whether connection between representative value and expected value can be gradually connected. As a result, regarding representative value of distribution, 8 versions out of 14 versions were covered. Regarding the measure of dispersion of distribution, 14 versions were covered, but various distribution was not considered and the number of problems was very small. Also, regarding the connectivity problems of representative value and further expected value on probability distribution, factors or problems of contents on the kinds of linkage between representative value and expected value were never considered. This cannot link the average value that divides the sum of data into the total of degrees, and the expected value on further probability distribution gradually, and even can lead to the wrong concept which views the average and expected values wrongfully. Consequently, representative values relating to various distribution and problems relating to the measure of dispersion should be considered, and in this process, the link between representative value and expected value should be gradually connected. Fourth, we examined whether location preserving and scale preserving of representative value, and location invariant and scale preserving of a measure of dispersion are introduced. As a result, these were not directly mentioned, and location preserving and scale preserving of representative value and location invariant and scale preserving of a measure of dispersion, considered as a problem, were indirectly mentioned. However, the textbook that discusses about both of them were only 5 versions. Also, in 5 versions, the textbook that suggests which situation requires location preserving and scale preserving was only version 1. Therefore, detailed comments on suggesting not only which situation required location preserving and scale preserving, but also what kinds of properties are required relating to location preserving and scale preserving, if representative value and a measure of dispersion are purposeful. Also, from such point of view, the detailed comment on whether values such as average, median, mode, range, and standard deviation have such kinds of properties, should be suggested.