SDP Formulations of Rank Minimization and Numerical Experiments

Abstract

Rank minimization problems have widely attracted the attention in both mathematical and engineering elds. This class of optimization problems is known to be NP-hard in general. A popular heuristic algorithm replaces the rank function with the nuclear norm, which can be reduced to a semidefinite programming. However, the relationship between rank minimization problem and nuclear norm minimization problem is not known in many situations. Recently, Y. Zhao proposed new approximation theory and its SDP relaxation form, and theoretically proved that a rank minimization problem can be approximated to any level of accuracy. In this thesis, we formulate SDP relaxation by Y. Zhao as conic-form linear optimization problem, which is can be solved by a Matlab package called SparseCoLO. The performance of SparseCoLO is tested with matrix completion problems.;최적화에서 rank를 최소화 하는 문제(rank minimization problem)는 다양한 분야에 응용되기 때문에 중요성이 부각되고 있다. 이 문제는 일반적으로 NP-hard한 것으로 알려져 있지만, nuclear norm을 최소화 하는 문제로 대체 될 수 있다는 점이 이론적으로 뒷받침되어 이에 대한 연구가 활발하게 진행되고 있다. 하지만, 많은 상황에서 rank를 최소화 하는 문제와 nuclear norm을 최소화 하는 문제의 관계는 알기 어렵다. 최근에, Y. Zhao 가 이 문제에 대한 새로운 접근 방식과 그에 대한 SDP(Semidefinite Programming)를 제시하였다. Y. Zhao는 새로운 접근 방식을 통해 rank를 최소화하는 문제가 매우 정확한 수준으로 추정 가능 하다는 점을 이론적으로 증명하였다. 이 논문에서는 Y. Zhao가 제시한 SDP 방법의 속도를 향상시키기 위해 conic형태의 선형 최적화 문제로 변형시키는 방법을 다루었다. 변형된 conic형태의 선형최적화 문제는 SparseCoLO Matlab 소프트웨어를 적용해 보았다. SparseCoLO의 적용 방식의 효율성을 증명하기 위해서 행렬 복원문제(matrix completion problem)에 대한 수치 실험 결과를 수록하였다.