Homomorphic Public key systems on Elliptic curve groups

Abstract

The composite-order elliptic curves are regarded as useful tools for pairing-based cryptography because of its secure environment. Boneh,Goh and Nissim created one of the cryptosystems using elliptic curve groups of composite order called the BGN public key system. However, cryptosystem on a composite-order group may not be efficient since computation is generally complicated when the order of the group is large. Later, Freeman constructed a framework which converts the BGN public key system from a group of composite order to one of prime order. In this paper, we introduce the BGN public key system and the converted version presented by Freeman. Also, we present two simplified versions of Freeman's work that we can save more time for decrypting a message. Finally, we estimate the time and space complexity of Freeman's and two simplified versions and compare them with examples. All computations were done with Magma program. ;Elliptic curve groups of composite order는 안정성을 보장하는 환경으로 인해 Pairing-based cryptography에서 유용하게 쓰이고 있다. 그 것을 이용한 것 중 하나가 바로 BGN public key system이다. 그러나 그 위에서 정의된 cyrptosystem은 group의 크기가 클 경우 계산과정에서 효율적이지 않을 수 있다. 이 점을 보완하기 위해 Freeman은 기존의 BGN system을 composite order를 갖는 group에서 prime order를 갖는 group위에 정의할 수 있도록 새로운 구조를 만들어냈다. 이 논문에서는 BGN public key system과 Freeman이 제시한 변형된 BGN public key system을 소개한다. 또한 Freeman이 제시한 방법을 바탕으로 우리는 Freeman이 변형한 BGN public key system에서 메시지를 복호화할 때 더 효율적으로 계산할 수 있는 두 가지 방법을 제안한다. 마지막으로 Freeman의 것과 제안한 두 가지 방법의 시,공간적 계산량을 제시하며 예와 함께 비교한다. 모든 계산은 Magma에서 구현되었다.