Morse Theory in Riemann Surface

Abstract

In this thesis, we want to investigate the relationship between pair of pants decomposition of Riemann surface and saddle points. We introduce Morse theory on Riemann surface and definition of related terms. We also consider Morse theory on meshes and investigate non-degenerate critical points and give some examples. We complete the number of the components of a pair of pants decomposition and prove that the necessary and subcient condition for the surface ∑g,n with genus g and n boundaries to have a pants decomposition is the Euler characteristic x(∑g,n)<0.;이 논문에서는 리만곡면 상의 pair of pants decomposition과 saddle point 사이의 관계에 대해 논의 하였다. 이 논의를 위해 리만곡면 상의 모스이론에 관한 정의와 중요한 성질을 소개하였고, 리만곡면의 그물망과 비퇴화 임계점을 논의하고 예를 들어 계산하였다. 또한 리만곡면이 pair of pants decompositon이 되었을 때 component 수와 커브의 수를 계산 하였으며 지너스가 g이고 n개의 경계를 갖는 리만곡면 ∑g,n이 pair of pants decomposition을 갖기 위한 필요충분조건은 리만곡면의 오일러 지표 x(∑g,n)<0임을 보였다.