삼각형의 결정조건과 합동조건 중심의 교과 연계성 분석

Abstract

This thesis represents a research on the curriculum connection of elementary, middle and high schools in terms of teaching and learning the Euclid geometry of triangle-determining conditions and triangle congruence conditions. The transitions of this geometry education from elementary to middle schools and from middle to high schools are studied based on their textbooks and the general education curriculum. This research adopts R. M. Gagne’s Theory and Ralph W. Tyler’s Theory as the basis of the study. Gagne’s Theory explains well the levels in education by classifying them into three categories-repetition, development, and disparity. However, although Gagne’s theory is an appropriate explanation for the classification of education levels, it does not take into account changes in students’ psychological states. To make up for this weakness, I introduced Ralph W. Tyler’s Theory which indeed also considers students’ psychological states. Tyler’s Theory perceives the establishment of an education objective as the foremost important factor in determining the education curriculum. To establish an objective, it is critical to consider students’ previous learning experiences because the achievement of an education objective is contingent upon the educational background of the students. However, educational background is not the only factor that is associated with the decision of education curriculum. Variety of experiences should be effectively organized to reach the goal of education which will in turn support the students. Based on Tyler’s Theory, the validity of teaching objectives, the decision of learning experiences and the effective organization of the various learning experiences will be used as the standards of the curriculum connection study of the triangle-determining conditions and the triangle-congruence conditions. In order to understand the subject and the concept of this study and for a better attainment of the curriculum connection, the study focuses on the investigation of possible methods to improve the understanding of the triangle-determining conditions and triangle-congruence conditions introduced in grade 7 and 8 textbooks of the 7 national education curriculum. The method of the investigation helps us determine whether or not the content of the lower level education curriculum contains any omissions or faults in order to reach the higher level curriculum. Also, given that the establishment of the objective is correct, this research also aims to see whether or not the content of the curriculum is appropriate to help us reach the goal. We have also suggested possible solutions for some problems that were found in the process of analysis. The possible problems and solutions can be summarized into four proposals. First, in current grade seven mathematics, congruence problems deal with SSS, SAS, ASA, and in grade eight mathematics, they have included RHA and RHS problems. In this regard, it is advisable that problems that involve the use of SsA are added to the curriculum. In a condition where a homologous angle of the short side of a triangle is given, students should be advised to use two vertexes as the center and take the short side of the triangle as a radius of a circle. After drawing the circle, they should expect to see that the number of triangle comes down from 2 to 1 and to 0. Further, students should be asked to apply this concept to another problem where a homologous angle of the long side of the triangle is given. After this, it should be recommended that they make a connection with the use of SsA congruence method. Second, after the theoretical explanation of the sine law, if for example, a, b, A are given, find the value of B from a/sinA = b/sinB and also the solution of C=180-A-B. It should be noted that in the equation sinB = bsinA/a, the number of B values are 2, 1, and 0 and hence the number of C values are 2, 1, and 0 accordingly. This notion should be understood in accordance with the first proposal. Third, the connection between the triangle-determining conditions and the sine law is rather weak. For instance, if a, b, C (SAS) or A, B, c (ASA, the case when C can be easily determined), or a, b, c (SSS) is known, a triangle can be formed because all the numerators and denominators cannot be paired. However it also leads to a case where the sine law cannot be applied. While we introduce this problem curiosity can be invoked among the students and when they try to solve the problem, it is appropriate that they start using the cosine law at this point (connection between the triangle-determining factors, sine and cosine law). Fourth, in the textbooks, it is introduced and explained that when the determining factors (and the values of) a, b, and C are obtained through the cosine law, then a triangle can be formed accordingly. The equation for the triangle area is also introduced. However, when the values of a, b, and c (SSS) are given we can still determine the area of the triangle by creating an arbitrary (any) angle and by using the equation 1/2absinC. Also when A, B, and c are known (ASA) we can obtain the value of C first and then obtain the values of a or b by using the sine law, hence calculate the area of the triangle using the formula 1/2bcsinA. This has indeed been introduced by many textbooks, but the general education curriculumdoes not make any reference to it, therefore I believe that we should include this content in the curriculum.;이 논문은 유클리드 기하학을 따르는 초·중·고등학교 교육과정 중 삼각형의 결정 조건과 합동 조건의 교수·학습에 대한 연계성 연구이다. 유클리드 기하학을 따르는 초등학교와 중학교의 기하 교육에서 연계성과 중학교와 고등학교 기하의 연계성을 교과서와 교육과정을 바탕으로 연구한 결과이다. 본 연구의 기준으로 R. M. Gagnes 이론과 Ralph W. Tyler 이론을 채택하여 분석한다. Ganges 이론은 학습의 위계를 반복, 발전, 격차의 세 가지 형태로 구분하여 학습 위계를 가장 잘 설명하고 있는 이론이다. 그러나 Ganges 이론은 학습 형태의 구분은 적절하나 학습자의 심리적인 변화 내용의 고려함이 부족하다. 이러한 이론의 약점을 보완하기 위해 학습자의 심리적 측면까지 고려한 이론인 Tyler 이론을 도입하였다. Tyler는 교육과정을 선정함에 있어서 가장 중요한 것은 교육목표의 설정을 보았다. 교육목표를 설정하기 위하여 학습자의 선행 경험을 선택하는 것이 중요하다. 교육목표의 달성은 학습자의 선행 경험에 의해 결정되기 때문이다. 선행 경험을 선택할 때는 경험만을 선정하는 것으로 교육과정의 선정이 끝나는 것이 아니다. 여러 가지 경험들이 교육 목표를 달성하기에 효과적인 순서로 구성되는 것이 교육과정에서 학습자를 고려하는 방법으로 본다. Tyler의 이론을 토대로 교육목표의 타당성, 교육 경험의 선정과 교육 경험의 효과적인 구성의 세 가지 기준으로 삼각형의 결정 조건과 삼각형의 합동 조건에 대한 교육과정 연계성을 연구한다. 본 연구의 연구 과제로 7차 교육과정 중학교 1학년, 2학년 교과서에서 소개되는 삼각형의 결정 조건과 합동 조건의 연계성과 삼각형의 합동 조건과 합동 조건의 개념 이해에 있어서 연계성 확보를 위한 교육 과정의 개선 방안 연구를 선택하였다. 연계성 연구 방법은 교육 과정의 내용면에서 상위 개념에 도달하기 위해 하위단계에 누락된 부분은 없는지, 목표 설정이 올바르다면 그 목표에 도달하기에 적합한 내용으로 구성되어 있는지 여부를 판단하였고, 문제점이 드러난 부분에 대해서 개선방안을 제시하였다. 분석에 따른 몇 가지 문제점에 대한 제언은 네 가지로 요약된다. 첫째, 중학교 1학년 합동에서는 현재대로 SSS, SAS, ASA을 중학교 2학년에서는 RHA, RHS 합동만을 다루되 SsA에 의한 결정을 생각해 보는 활동을 추가하는 것이 바람직하다. 짧은 변의 대응각이 주어진 경우 두 변의 교점(꼭지점)을 중심으로 하고, 짧은 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려보게 하여 삼각형이 2개, 1개, 0개로 결정되는 것을 경험할 수 있도록 한다. 또, 긴 변의 대응각이 주어진 경우는 어떻게 되는지 유사한 방법으로 탐구하게 하고, 이 활동 후에 사인 법칙의 활용(SsA합동)으로 연결되도록 하는 것이 바람직하다. 둘째, 사인법칙에 개념 설명이 끝난 뒤에 가령 변a, 변b,∠A가 주어진 경우 ◁수식삽입▷(원문을 찹조하세요)에서 ∠B를 구하고 이어서 ∠C =180-∠A-∠B 를 구한다. 이때, ◁수식삽입▷(원문을 찹조하세요) 의 해 ∠B가 2개, 1개, 0개에 따라 ∠C도 2개, 1개, 0개가 되고 이것을 첫 번째 제시한 제언의 활동과 연결시켜 구성하는 것이 바람직하다. 셋째, 삼각형의 결정조건과 사인법칙은 연계성이 조금 부족하다. 가령, 변a, 변b, ∠C를 아는 경우(SAS), ∠A, ∠B, 변c를 아는 경우(ASA, 이 경우는 쉽게 ∠C를 구할 수 있어서 문제되지 않는다.) 와 변a, 변b, 변c를 아는 경우(SSS) 모두 분자 분모의 짝이 이루어지는 것이 없어 삼각형은 결정되지만, 사인법칙을 적용할 수 없는 상황이 발생한다. 이 내용을 소개하여 호기심을 유발하고 어떻게 이를 해결할 것인가를 탐구하는 과정에서 코사인 법칙으로 연결하는 것이 바람직하다.(삼각형의 결정조건과 사인, 코사인 법칙의 연결) 넷째, 코사인 법칙을 통해 결정 조건 변a, 변b, ∠C를 알면 삼각형이 결정되고 그 넓이 공식도 교과서에서 소개되고 있다. 그런데, 변a, 변b, 변c를 알면(SSS) 임의의 각 하나를 구하여 삼각형의 넓이인 ◁수식삽입▷(원문을 찹조하세요) 를 이용하여 구할 수 있고, ∠A, ∠B, 변c를 알면(ASA) ∠C를 구한 후에 사인법칙으로 변a나 변b를 구하여 삼각형의 넓이인 ◁수식삽입▷(원문을 찹조하세요) 를 구할 수 있다. 이 부분은 현재 교과서들에서 많이 소개되고 있지만, 교육과정에서는 언급이 없으므로 교육과정에 이 내용들이 포함되어야 한다.