On some properties of the operators with the same power

Abstract

In this thesis, we generalize some results in [Ma]. In particular, we show that if $A$ and $B$ in $\mathcal{L(H)}$ satisfy the following operator equations, i.e., $A^{N}=B^{N}$, $A^{N-2}B = B^{N-1}$, $B^{N-2}A = A^{N-1}$, and $A^{N-1} + B^{N-1}\neq 0 $ for some integer $N\geqslant2$ and if $A$ has nontrivial hyperinvariant subspaces, then $B$ has nontrivial invariant subspaces. Also, we show that if $A=H\oplus 0$ where $H$ is hyponormal, then there exists a nonhyponormal operator $B$ in $\mathcal{L}(\oplus_{1}^{2}\mathcal{H})$ such that $A$ is hyponormal and $A^{2}=B^{2}$, but $A\neq B$.;이 논문에서는 Matache 논문의 일부 결과를 일반화한다. 특히, 작용소 $A$와 $B$가 다음 방정식 $A^{N}=B^{N}$, $A^{N-2}B = B^{N-1}$, $B^{N-2}A = A^{N-1}$, $A^{N-1} + B^{N-1}\neq 0 $을 만족하고 작용소 $A$가 비자명 초불변부분공간을 갖는 경우, 작용소 $B$는 비자명 불변부분공간을 갖는다는 사실을 증명한다. 또한, $H$가 초정규작용소일때 $A=H\oplus 0$라고 하자. 그러면, $A^{2}=B^{2}$와 $A\neq B$를 만족하는 초정규작용소 $B$가 존재함을 보인다.