The Structure of witt ring using ordering and signature

Abstract

Let W(F) be a Witt ring over the field F of characteristic different from 2. To study the structure of W(F), we consider the ring homomorphism T:W(F) → C(O_F, Z) given by T (q) = q＾, where O_F is the set of orderings, C(O_F' Z) the set of all continuous functions from O_F to Z and q＾(∝) = sign∝(q). If F is a pythagorean and formally real field, W(F) can be classified by the total signature and dimension of quadratic form. And ker T is 2-torsion subgroup of W(F). Using these results, we will study the open problem which has a solution under some specific conditions; (i) F is a nonreal field. (ii) F is a formally real field with IO_FI = 1 (Example 1, 2, 3). (iii) F is a formally real and pythagoreanfield. ;W(F)를 characteristic이 2가 아닌 체 위에서의 Witt ring이라 하자. W(F)의 구조를 살펴보기 위해서 우리는 T(q)=q와 같이 정의되는 함수 T를 W(F)에서 C(O_F, Z)로 가는 ring homomorphism을 공부하기로 한다. 여기에서 O_F는 orderings의 집합이고 C(O_F, Z)는 q(α)=sign_α(q)로 정의되는 O_F에서 Z로 가는 연속 함수들의 집합이다. 만일 F가 pythagorean이고 formally real field이면, W(F)는 2차 동형식의 total signature와 dimension에 의해 본류되어 진다. 또한 일반적으로 함수 T의 kernel은 W(F)의 2-torsion의 부분군이 된다. 이러한 사실들을 갖고 우리는 지금까지 미해결된 문제에 관해 연구해 보자. 이 문제는 다음의 3가지 상황에서만 그 증명이 가능하게 되고 일반적으로는 아직 밝혀지지 않았다. 상황(1) F가 nonreal field일 때 상황(2) F가 한 개의 ordering을 갖는 formally real field일 때, 상황(3) F가 formally real이고 pyrhagorean field일 때, 그리고 상황(2)에 대해서 예 1, 2, 3이 주어진다.