Vitali형의 covering 정리들

Abstract

In this paper, we shall show how the original Vitali theorems can be extended in many other situations which the original theorems would not cover. We also consider the collection of sets that does not satisfy the Vitali property. Main theorem of this thesis is following. THEOREM Let A be a set in R^(n). For each x∈A a sequence {K_(k)(x)} is given of compact convex sets containing x and such that ((K_(k) (x))→0 as k→∞ Assume the collection V = (K_(k)(X))_x∈A, k=1,2,.... is comparable. Then it is possible to select from V a disjoint sequence {S_(k)} such that ｜A-US_(k)｜=0.;이 논문에서 우리는 본래의 Vitali 정리가 본래와 다른 상황하에서 어떻게 변화되나 보았다. 그리고 Vitali성질을 만족하지않는 집합의 모임들에 대해서 생각해 보았다. 본 논문의 중요한 정리는 다음과 같다 : 정리 : A를 R^(n)안에 있는 집합이라 하자. A안에 있는 각각의 원소x에 대하여 수열 {K_(k)(x)}는 x를 포함하는 campact convex집합들로 주어졌다. K가 무한대가 됨에따라 수열의 K_(k)(x)의 지름은 0에 수렴한다. 그리고 V=(K_(k)(x))_(x∈A)는 comparable이라 가정한다. 이때 우리는 V로부터 ｜A-∪S_(k)｜=0이 되는 disjoint 수열 {S_(k)}를 고를수 있다.