NOTE ON THE ABELIAN CATEGORIES

Abstract

In this paper we shall prove the following lemmas and theorems : Lemma 2. Let It be an exact category and a morphism f : A→B factors through I as ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요) , where q is an epimorphism and v is a monomorphism. Let ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) be the kernel of q and ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) be the cokernel of v. Then Ker(p)=Im(f)=v, and Coker(u)=Coim(f). Lemma 3. In an exact category /A, for each f : A→B, Coim(f) and Im(f) are isomorphic. Theorem 1. The following sets of axioms for additive category /A : (a) (M-AD1)=(H-AD1) : For any two objects X, Y∈/A, Hom (X,Y) is a module over the ring of all integers Z. (M-AD2)=(H-AD2) : The composition function in /A is bilinear. (M-AD3) : For the family of morphisms ui { u_(i) : A_(i)→A}, there is a family of morphisms {p_(i) : A→A_(i)}such that p_(i)u_(i)=S(ij) and ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) u_(k)p_(k)=1_(A), where ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) (b) (B-AD1) : For any pair of objects (X,Y) in /A, there exist the direct product XπY, and direct sum X□Y. (B-AD2) : For any pair of objects (X,Y) in /A, Hom_(/A)(X,Y) has an abelian group structure such that the composition map Hom_(/A)(X,Y) × Hom_(/A)(Y,Z)→Hom_(/A)(X,Z) is bilinear. (B-AD3) : There exists in Z an object A such that 1_(A)=0. (c) (P-AD1) : There exists a zero object /A. (P-AD2) : There exist finite products and finite coproducts in /A. (P-AD3) : The morphism δ from finite coproducts to finite products is an isomorphism. (P-AD4) : To each object A in /A, there exists a morphism s_(A) : A→A such that the diagram◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요) is commutative. are equivalent. Theoren 2. The sets (a) (b) (c) (d) of axioms for abelian categories are equivalent, where (a) (G-Ab1)=(P-Ab1) : /A is an additive category, in which (G-Ab2)=(P-Ab2) : every morphism admits a kernel and a cokernel, and (G-Ab3)=(P-Ab3) : for every morphism u, u￣ : Coim u→Im u is an isomorphism. (G-Ab4) : Every morphism α : A→B can be written as a composition ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) where q is an epimorphism and v is a monomo rphism. (b) (H-Ab1)=(F-Ab1) : /A has a zero object. (H-Ab2)=(F-Ab2) : Every mo rphism has a kernel and a coke reel. (H-Ab3)=(F-Ab3) : Every monomorphism is a kernel of a morphism and every epimorphism is a cokernel of a morphism. (H-Ab4)=(F-Ab4) : Every pair of objects has a prduct and a sum. (c) (B-Ab1) : /A is a pre-abelian category. (B-Ab2) : For any morphism u : A→B in /A, the morphism u￣ : Coim u→Im u is an isomorphism. (B-Ab3)=(G-Ab4). (d) (M-Ab1) : /A is an exact additive category. (M-Ab2) : /A has a finite product. and construct the comparative tables of terminologies in the theory of categories. (see p. 10 );본 논문에서는 다음의 Lemma와 정리들을 증명하였다. Lemma 2. /A를 exact category, morphism(射) f : A → B가 ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요) 와 같이 I를 통하여 분해 된다고 하자. 단, q는 epimorphism(全射)이고 v는 monomorphism(單射)이다. u : K → A를 q의 kernel(核), p : B → C를 v의 cokernel(餘核)이라 하면 Ker(p)=Im (f)=v이고 Coker (u)=Coim(f)이다. Lemma 3. Exact category A에서 각각의 f : A → B에 대하여 Coim(f)와 Im(f)는 isomorphic(同型)이다. 정리 1. Additive category /A에 관한 공리들의 집합 (a), (b), (c)는 서로 equivalent(同値)이다. 단, (a) (M-AD1) = (H-AD1) : /A안의 두개의 object(對象) X, Y에 대하여 Hom_(/A) (X,Y)는 정수들의 ring 上의 module(加群)이다. (M-AD2) = (H-AD2) : /A에서의 합성함수는 bilinear(雙一次)이다. (M-AD3) : 어떤 morphism들의 모임 {u_(i) : A_(i) → A}에 대하여 p_(i) u_(j) = δ_(ij) 이고 □ u_(k) p_(k) = 1_(A) 인 morphism 들의 모임인 {P_(i) : A → A_(i)}가 존재한다. 단 δ_(ij) = ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) 이다. (b) (B-AD1) : /A안의 한 쌍의 object (X,Y)에 대하여 direct procuct(直積) X Π Y와 direct sum(直和) X □ Y가 존재한다. (B-AD2) : /A안의 한 쌍의 object (X,Y)에 대하여 Hom_(/A) (X,Y)는 composition map(合成寫像) Hom_(/A) (X,Y) × Hom_(/A) (Y,Z) → Hom_(/A) (X,Z)가 bilinear인 abelian group의 구조를 갖는다. (B-AD3) : /A안에는 1_(A)=0인 object A가 존재한다. (c) (P-AD1) : /A안에는 zero object가 존재한다. (P-AD2) : /A에는 유한의 product와 유한의 coproduct가 존재한다. (P-AD3) : 유한의 coproduct에서 유한의 product로 가는 morphism δ는 isomorphism이다. (P-AD4) : /A안의 각 object A에 대하여 diagram ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요) 가 commutative(可換)인 morphism S_(/A) : A → A가 존재한다. 정리 2. Abelian category /A에 관한 공리들의 집합 (a), (b), (c), (d)는 서로 equivalent이다. 단, (a) (G-Ab1) = (P-Ab1) : /A는 additive category이다. (G-Ab2) = (P-Ab2) : /A안의 모든 morphism은 kernel과 cokernel을 갖고, (G-Ab3) = (P=Ab3) : 모든 morphism u에 대하여 u­￣ : Coim u →Im u는 isomorphism 이다. (G-Ab4) : 모든 morphism α : A → B는 A → I → B의 composition으로 표시 될 수 있다. 단 q는 epimorphism이고 v는 monomorphism이다. (b) (H-Ab1) = (F-Ab1) : /A는 zero object를 갖는다. (H-Ab2) = (F-Ab2) : 모든 morphism은 kernel과 cokernel을 갖는다. (H-Ab3) = (F-Ab3) : 모든 monomorphism은 어떤 morphism의 kernel이고 모든 epimorphism은 어떤 morphism의 cokernel이다. (H-Ab4) = (F-Ab4) : 각 한 쌍의 object는 product와 sum을 갖는다. (c) (B-Ab1) : /A는 pre-abelian category 이다. (B-Ab2) : /A안의 임의의 morphism u : A → B에 대하여 u : Coim u → Im u는 isomorphism이다. (B-Ab3) = (G-Ab4) (d) (M-Ab1) : /A는 exact additive category이다. (M-Ab2) : /A는 유한의 product를 갖는다. 그리고 category 論에서의 술어들에 대한 대비표를 작성하였다.