On The K-proximities

Abstract

해석학에서 기본을 이루고 있는 수렴성에 관한 Cauchy sequence의 개념 또는 연속성에 관한 Uniform continuity의 개념등을 거리 개념을 매개로 하지 않고 보다 추상적인 공간에서도 다룰 수 있게 하기 위하여 1937년 불란서의 A. Weil은 uniform structure를 도입하기에 이르렀다. 한 공간 Y에 대한 uniform structure란 p(YxY)의 subfamily로서 결정되는 것으로서 결국 nearness의 개념을 특징 지운것이며 이로 말미암아 고전해석학의 추상화가 가능하게 되었으며 따라서 오늘날의 현대 해석학의 바탕을 이루게 되었다. 이 uniform structure는 위상적으로 따져보면 completely reqular topological structure와 동일한 것이며 이에 대한 새로운 각도의 고찰이 1950년대에 와서 V.A. Efremovicˇ, Y.M. Smirnov등에 의하여 이루어지게 되었다. Efremovicˇ는 1951년 그의 논문 "Infinitesimal spaces"에서 공간 X에서의 nearness의 개념을 P(X)위에서의 binary relation δ (그는 이 δ를 proximity relation 이라고 불렀다)로서 다음 조건 모든 A, B, C, ← P(X)에 대하여 ⅰ) AδB ⇒ BδA ⅱ) Aδ(B∪C) ⇔ AδB or AδC ⅲ) AδB ⇒ A≠φ, B≠φ ⅳ) AδB ⇒ З Eεp(X) AδE, X-EδB ⅴ) A∩B ≠φ A∂B 을 만족하는 것으로서 정의함으로서 uniform structure 또는 completely regular인 topological structure와 동일한 것을 얻는데 성공하였다. 그후 오늘에 이르기 까지 많은 수학자 이를테면 Alexandroff, Mrowka, Leader, Albsen, Pervin 등에 의하여 Proximity space의 compactification, completion 문제 또는 uniform structure와의 관계등이 다루어졌다. 이 논문에서는 Efremovicˇ의 proximity relation를 보다 일반화하여 topological structure와 equivalent 인 것을 유도하는 것이 그 주목적이며 아울러 이 일반화된 proximity relation δ (이것을 이 논문에서는 K-proximity relation이라고 부르기로 하였다)의 구조를 규명하는 것에 중점을 두었다. 공간 Y에서의 K-proximity relation δ 란 YxP(Y)의 subset로서 다음 조건을 만족하는 것을 뜻한다. ⅰ) xδ (A∪B) ⇔ xδA or xδB ⅱ) xεY ⇒ xδφ ⅲ) xεA ⇒ xδA ⅳ) xδA ⇒ З E⊂Y xδE, yδA for all yεY-E 이 논문에서 특히 역점을 둔 것은 K-proximity spaces의 족 {(X_(α), δ_(α))｜aεI｜}에 대한 product K-proximity의 개념의 도입 및 K-proximity의 개념의 도입에 있다. 이 두 개념은 K-proximity structure를 category의 입장에서 통일적으로 다룰 수 있는 가능성을 보여 주었으며 특히 ((P_(α)), Πx_(α)) 및 K-proximity space (X, δ)의 quotient space X/R에 대한 (P_(R), X/R)이 각각 모든 K-proximity space 들의 category에서의 어떤 contravariant functor 및 covariant functor의 universal element들로 된다는 사실이 밝혀진 것은 흥미로운 일이라 할 수 있다.