빈도함수의 Gram-charier A 급수 전개에 나타나는 몇가지의 성질

Abstract

함수 ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) 의 Gram-charlier A급수 전개는 각각 (7) ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) (15) ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) 와 같이 된다. (6) g(x)=αf(x)+βf(σ²x) 는 (19) α=(1)/((1)/(1+σ²), β=(σ⁴)/(1)/(1+σ²) 와 같이 정하면 표준변수의 빈도함수로 되는데, 이를 Gram-charlier A급수로 전개할때의 수렴조건을 직접 해석적으로 구하면 (21) ½≤σ²≤2 와 같이 된다. 또 한편 (6)의 전개가 수렴하기 위하여서는 (4) ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) 가 수렴하여야 한다는 Harald Crame´r의 수렴정리에 의하여 수렴조건을 구하면 (22) ½＜σ²＜2 와 같이 된다. (4)를 수정하여 (22)보다 정확한 조건이 (21)이 나오도록 하기 위하여 (4)중에 있는 계수 ¼을 보다 작은 어떤 양수, λ으로 바꾸어 보았더니 모순된 결과가 나왔다. 그러므로 (4)에 있어서의 계수 ¼은 보다 작은 어떤 양수로도 바꾸어 놓을수 없다. 뿐만 아니라 (½＜σ²＜2)⊂(½≤σ²≤2) 이므로 조건 (22)는 비록 정확한 조건 (21)과 일치하지는 않는다 하더라도 수렴의 충분조건으로서 (22), 따라서 (4)를 그대로 사용하여도 무방하다.