ON THE MEASURE INDUCED BY THE VECTOR VALUED MEASURE

Abstract

We shall study for real valued measure induced by the vector valued measure. Vector measure means a set function m defined on a-ring S with values in vector space Y has the following properties; ⅰ) m(Φ)=0 ( 0 is the zero vector in Y ) ⅱ) For every sequence {E_(n)}^(∞)_(n=1) of sets in S; ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) we have ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) A set function m on the a-ring S with values in the extended real number R defined by ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) where □(E) is a class of all partitions of E, then m forms a measure on S. (Th 1) Then the measure m is called the measure induced by the vector measure m. If m is a measure on a a-ring S, a set E in S is said to have a finite measure if partition □(E) of E is finite. A vector measure m defined on a a-ring S is complete, if EεS, F⊂E and m(E)=0, then FεS. The induced measure m is complete, if a vector measure m is. But the converse is not true in general. We shall examine additional conditions to prove the converse. If we define an extended real valued set function m^(*) on H(S) by ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) then the set function m^(*) is an outer measure. The outer measure m^(*) is called the outer measure induced by the vector measure m. We shall study for the property of the outer measure m^(*). If m is a measure on aa-ring S and if, the set function m^(*) defired for every E in the hereditary a-ring H(S) by ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) then m^(*) is an outer me9sure on H(S). The outer measure m^(*) is called the outer measure induced by the measure m. Let m^(*) be an outer measure on F'S). A set E in H(S) is m^(*)- measurable if, for every set A in H(S), ◁수식삽입▷(원문을참조하세요) Then the class of all m^(*)-measurable sets S is a-ring. The outer measure m^(*) will have the following properties; ⅰ) The restriction of m^(*) on S is the measure m. ⅱ) Every set in S is measurable. Finally, if S is the class of all m^(*)-measurable sets, then the set function m, defined for E in S by ◁수식삽입▷(원문을참조하세요), is a measure on S, and is an extension of m. (Th 5) ;Real valued measure는 이미 여러 사람들로부터 많이 연구 되어졌지만 본 논문에서는 vector valued measure에서 유도되는 real valued measure에 관해서 연구하려고 한다. vector valued measure는 a-rings에서 정의되고 vector space를 range로 하는 set function m으로서 a-rings에 포함되는 empty set에 대해서는 zero vector를 갖고 countably additivity를 만족시키고 있음을 의미한다. 이 vector measure로 유도되는 real valued measure는 역시 a-rings S에서 정의되고 range를 실수로 하는 set function □이며, a-rings S에 속하는 임의의 set E에 대해서 ◁수식 삽입(원문을 참조하세요)▷ 라고 정의한다. 여기서 Π(E)는 E의 모든 partition의 class이다. 그러면 이 set function □는 non-negative, a-rings S에 속하는 empty set에 대해서는 zero의 값을 가지며 countably additive의 성질을 만족함을 보였다. (Th 1) measure □는 a-rings S에 속하는 E에 대해서, E의 partition Π(E)가 finite라면 measure □(E)는 finite이다. Vector measure m에서 complete를 정의하고 vector measure m가 complete이면 measure □가 complete됨을 보인다. 그러나 일반적으로 이것의 역은 성립하지 않는다. 역이 성립하기 위해서 필요한 조건을 조사하고, 역이 성립하는 것을 증명했다. (Th 2) 우리는 vector measure m으로 유도되는 outer measure를 생각 할 수 있다. 어떤 실수 값을 갖는 set function m를 hereditary a-ring H(S)위에서, m*(E)=inf{∥m(A)∥ : E⊂AεS}라고 정의하면 이 set function m가 outer measure가 됨을 보이고 몇가지 성질들을 알아본다. 다음은 measure □에 의해서 유도되는 outer measure를 생각했다. 만약 □*는 a-ring H(S)에 속하는 set E에 대해서, □*(E)=inf{∥m(A)∥ : E⊂AεS}라고 정의하고 그 set function □*가 non-negative, hereditary a-ring H(S)에 속하는 empty set에 대해서 zero, monotone, 그리고 countably subadditive 임을 보여 □*가 outer measure 임을 밝혔다. outer measure □*에서 H(S)에 속하는 measurable set E를 H(S)에 속하는 임의의 element A에 대해서 □*(A)≥□*(A∩E)+□*(A∩E') 성질을 갖는 것이라고 정의하고 □를 이런 measurable set의 class로 보면 □는 a-ring이 된다. outer measure □*의 영역을 a-ring S로 축소하면 원래의 measure가 되며 a-ring S에 속하는 모든 element는 measurable set의 class □에 모두 포함된다. 즉 a-ring S도 measurable set의 class이다. 마지막으로, measure □는 a-ring S 위에서 정의되었고 outer measure □*는 hereditary a-ring H(S)위에서 정의되었다. 만약 □*의 영역을 measurable set의 class □로 축소한 set function을 □라 하면 그 set function □는 measure가 되고 원래의 measure □의 확장임을 우리는 알 수 있다. (Th 5)