프랙탈 기하가 학생들의 시각적 사고에 미치는 영향에 대한 사례 연구

Abstract

Mathematics is a creative and dynamic knowledge which has continuously been developing since human beings came into existence. And it is connected with our world as an important modeling tool. Nevertheless, Hilbert's opinion that mathematics should be formal had such a great influence on the twentieth century that most of the teachers and students thought that mathematics was essentially analytic. Until now mathematics education at school has been static and linguistic. Students think that mathematics is difficult and uninteresting and that it is just one of the important subjects needed to enter college, not recognizing its usefulness and beauty. The paper aims to help students to recognize the beauty and connection of mathematics by introducing fractal geometry and graphic calculator to linear transformation. It also aims to show visualization using pictures and graphs will help students better understand mathematical concepts. This study is to answer the following questions: 1. Will fractal geometry and graphic calculator encourage students' visual thinking? 2. What conditions influence students' problem solving process in linear transformation? 3. Can we find positive change in the attitude and interest in mathematics of the students? This paper outlines various research results on visualization as its theoretical bases and also reviews literatures on fractal geometry which is thought to be activate students' visual thinking. And the role of graphic calculator, one of the technology essential to visualization is outlined. And it is said that teaching of transformation geometry at school should be done actively on the basis of the importance of transformation. Four girl students in grade 12 at M girls' high school in Suncheon, Jeonnam Province are participated in my study. The study is performed about 25 hours for six weeks. Because elements which influence on problem solving is observed and the process to encourage students' visual thinking is studied, the ethnomathematics case study is approached. The pretest, MPI of Presmeg is used to see the visualization preference of students and the problem related to linear transformation solving process is observed to see students' cognitive style reflecting the result of MPI. The elements which influence on students' problem solving process are classified by the belief of the nature of mathematics, teacher variable, task variable. Fractal geometry and graphic calculator are introduced to encourage students' visual thinking and have positive attitudes to mathematics. And the interview is executed to recognize the importance and value of visual thinking. The shows that the most important clement on students' problem solving process is a teacher, which is identified through the interviews with the students. The differences between the pretest and the post test indicate that students' cognitive styles have moved into visualization after learning fractal geometry and graphic calculator. Geometry and calculator has facilitated students' visual thinking, better understanding of mathematical concepts and positive attitude to mathematics. The following recommendations based on the study are made to encourage students' visual thinking in mathematics education: First, Mathematics teachers should recognize the value of visual thinking not as supplementary but as important and offer useful, variable and visual materials for effective visual education. Second, Teachers should introduce technology including graphic calculator to several fields, develop variable visual materials and research the roles of the materials in teaching-learning process. For example, students can understand better such concepts as parallel movement or symmetry movement of trigonometrical function when they are shown visual materials, and move from geometric thinking to analytic thinking more flexibly. Third, Teachers should try to introduce new methods of teaching mathematics, such as fractal geometry so that students can recognize the creativity, change, beauty and connection of mathematics.;수학은 인류가 시작되면서부터 계속해서 발전해 오고 있는 창조적이고 역동적인 학문이다. 또한 우리가 사는 세계와 연결되어 주변의 실세계를 모델링 할 수 있는 중요한 도구이다. 그럼에도 불구하고 수학은 형식적이어야 한다는 Hilbert의 견해가 20세기 수학에 영향을 끼치면서 교사와 학생 모두가 수학은 본질적으로 해석적이라는 생각 하에 지금까지 학교 교육에서는 정적이고 언어 중심으로 지도가 이루어져오고 있다. 이에 학생들은 수학을 배우는 목적과 수학의 유용성, 심미성을 전혀 깨닫지 못한 상태로 단지 입시를 위해 공부하고 있을 뿐이다. 또한 수학을 대단히 어려워하고 있으며 흥미를 잃어가고 있다. 이에 대한 대안으로 테크놀러지의 발달과 더불어 그 가치와 중요성이 부각되고 있는 시각화를 수학 교육에 도입 하고자 하는 시도가 많이 되고 있다. 따라서 본 연구에서는 시각적 아름다움을 가지고 있는 프랙탈 기하와 그래픽 계산기를 일차변환에 도입했을 때 학생들이 수학의 심미성과 연결성을 인식하고 그림이나 그래프 등의 시각화를 통하여 수학적 개념을 명확하게 이해하친 또한 시각적인 방법으로 문제를 해결하는 능력을 촉진할 수 있을 것이라는 연구목적을 가지고 연구를 수행하였다. 이러한 연구목적을 반영하여 인구문제는 다음과 같이 세 가지로 설정하였다. 1. 프랙탈 기하와 그래픽 계산기를 활용한 학습을 한 후 학생들의 시각적 사고가 촉진되는가? 2. 일차변환에서 학생들의 문제해결 과정에 영향을 미치는 요인은 무엇인가? 3. 프랙탈 이미지와 그래픽 계산기를 접한 학생들이 수학에 대한 태도와 흥미 면에서 긍정적인 변화가 있는가? 이에 이론적 기초 연구로서 시각화에 관한 선행연구를 분석하였다. 먼저 수학 교육에서 시각화의 가치와 필요성에 대한 연구결과를 검토한 후 시각화에 관한 최근의 노력들을 살펴 보았다. 그리고 기하적 측면을 많이 포함하고 있는 일차변환 학습에 있어서 시각적 사고를 촉진하고 학생들의 흥미와 동기유발을 위한 소재인 프랙탈 기하에 대한 문헌 연구를 했다. 또 한 시각화에 필수적인 테크놀러지, 그 중에서도 그래픽 계산기의 역할을 프랙탈 이미지와 관련해서 살펴보았고 변환의 중요성과 위상을 바탕으로 학교에서 변환기하의 지도가 활발하게 이루어져야 항을 논의했다. 연구 대상은 전라남도 순천에 위치한 순천 M여자 고등학교 3학년 학생 4명이었고 2001년 4월 11일부터 5월 18일까지 약 6주간 25시찬 정도의 연구를 실시하였다. 학생들의 문제해결 과정을 보면서 해결전략에 영향을 미치는 요인을 살펴보면서 학생별로 시각적 사고를 촉진하는 과정을 연구했기 때문에 민속기술학(ethnomathematics) 사례연구 접근을 사용했다. 사전 검사로 Presmeg의 MPI 검사를 통해 학생들의 시각화 선호도를 알아보았으며 학생들의 인지 유형이 MPI 검사를 잘 반영하는지 알아보기 위해 일 차변환과 관련된 과제를 통해 학생들의 문제의 해결 과정을 살펴보았고 각 학생들의 문제 해결과정에 미치는 요인을 과제 기반 면담에 기초해 수학의 본질에 대한 신념, 교사 변인, 과제 변수로 나누어 살펴보았다. 학생들의 시각적 사고를 촉진하고 수학에 대한 긍정적인 태도와 동기유발을 위해 새로운 수학인 프랙탈 기하와 그래픽 계산기를 도입했으며 면담을 통해 시각적 사고의 중요성과 가치를 인식하도록 유도해 나갔다. 연구 결과, 학생들의 문제 해결 과정에 영향을 미치는 세 가지 요소 중 가장 큰 변인은 교사 변인이었음을 면담을 통해 알 수 있었고 프랙탈 이미지를 활용한 학습을 한 후 사전 검사와 사후 검사의 비교를 통해 학생들의 인지유형이 시각화를 선호하는 방향으로 나아감을 알 수 있었다. 또한 프랙탈 기하와 그래픽 계산기가 학생들의 시각적 사고를 촉진하고 개념에 대한 깊이 있는 이해를 가능하게 하고 수학에 관한 흥미와 동기 유발의 촉진제의 역할을 하고 있음을 발견할 수 있었다. 이상과 같은 연구결과로부터 수학교육에서 시각적 사고를 촉진하고 학생들의 흥미 유발을 위해 다음을 제언한다. 첫째, 학생들은 교사들의 영향을 많이 받으므로 교사들은 시각적 사고를 보조적인 이해의 수단으로써가 아닌 수학의, 중요한 측면의 하나로써 가치 있게 받아들이고 효율적인 시각화 교육을 위해 이용 가능한 다양한 시각적 자료를 제시하여야 할 것이다. 둘째, 그래픽 계산기를 비롯한 테크놀러지를 일차변환 뿐만 아니라 수학의 여러 영역에 활발히 도입하고 이것을 이용한 다양한 시각적 자료를 개발해 교수 · 학습 과정에서 어떤 역할을 하는지에 대해서 연구해야 한다. 예를 들면 학생들이 어려워하는 삼각함수의 평행이동이나 대칭 이동 등을 그래픽 계산기를 이용하여 시각적으로 제시함으로써 이러한 개념들에 대한 의미 있는 이해가 가능해지고 기하적 사고와 분석적 사고 사이를 유연하게 오고갈 수 있는 능력이 길러질 것이다. 셋째, 수학은 창조적이고 변화하는 학문임을 인식시키고 정의적 측면에서 수학의 아름다움과 연결성을 인식할 수 있도록 프랙탈 외에도 새로움 수학을 끊임없이 소개하고 도입해야 한다.