Lyapunov Stability and Parallelizable Dynamical Systems

Abstract

Let (X,R,f) be a parallelizable dynamical system on a metric space (X, ρ) and K be a subset of X such that there exists a homeomorphism h: X→K×R satisfying h(f(p, t))=(p, t) for all pεK and tεR. It has shown that (ⅰ) If K is positively Lyapunov stable relative to X, then X is positively Lyapunov stable relative to itself ; (ⅱ) Suppose we have ρ(f(k, t), f(k, t_(2)))≤α◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) for all kεK, t_(1), t_(2) εR and for some α>0. If K is positively Lyapunov stable relative to K, then X is positively Lyapunov stable relative to itself; (ⅲ) K is arcwise connected if and only if X is arcwise connected. ;( x,R,f )를 거리공간 ( x, p )위에서 평행화가능 동역학계 (parallelizable dynamical system )라하자, K는 X 의 부분집합이고 h 를 X 에서 K 와 실직선 R 과의 적공간 ( product space )으로 가는 동위상 사상 ( homeomorphism )으로서 K 와 R 각각에 대한 임의의 원인 p 와 t 에 대하여 h(f(p,t)) = (p,t) 가 만족되어질때 다음 결과를 보인다. 1) 만일 K 가 x 에 관하여 양의 방향으로 Lyapunov 안정 (positively Lyapunov stable )이면, X 는 그 자신에 관하여 양의 방향으로 Lyapunov 안정이다; 2) K 의 임의의 원 k 와 R 의 임의의 윈 t_(l) 과 t_(2) 가 어떤양의 실수 α에 대해 부등식 P(f(k,t_(1)), f(k,t_(2)))≤α｜t_(1)-t_(2)｜를 만족한다고 가정하자. 만일 K가 K에 관하여 양의 방향으로 Lyapunov 안정이면, X는 그 자신에 관하여 양의 방향으로 Lyapunov 안정이다 ; 3) K가 호상연결 (arcwise connected)이 되는 필요충분조건은 X가 호상연결이 되는 것이다.