On torus homotopy groups

Abstract

만약 공간 X 와 공간 Y 가 locally separable 하거나 혹은 공간 X 가 regular 이고 locally compact이면 공간 Z^(XxY)에서(Z ^(X))^(Y) 로 가는 함수 σ는 homeomorphism 이다 . 우리는 homotopy groups 에 위의 결과를 적용하여 torus homotopy groups 에 관한 몇가지 정리를 얻는다. 즉. (i) τ^(m)_(2)(Y,Y_(0),y_(0))□π_(m+l)(Y,Y_(0),y_(0)) (ii) If r>2, τ^(m)_(2)(Y,Y_(0),y_(0))□τ^(m+l)_(r-l)(Y,Y_(0),y_(0))+τ^(m)_(r-l)(Y,Y_(0),y_(0)) (iii)τ^(m)_(r)(Y,Y_(0),y_(0))□□C_(r-2), j-2 π_(m+j-1)(Y,Y_(0),y_(0) 이상의 결과를 이용하여 torus homotopy groups에 대하여 다음과 같은 결과를 얻는다. (1) π_(m)(Y^(S^(K)) {S_(k),y(O)}, y_(0)) □ π_(m+k)(Y,y_(O)) (2) π_(m)(Y^(S^(K)) {S_(k),y(O)}, y_(0)), Y^(O^(S^(K)))(S_(k),y_(O)) □ π_(m+k)(Y,Y_(O),y(O)) (3) τ^(m)_(r)(Y^(S^(K)), y_(O))□τ^(m+k)_(r)(Y,y_(O)) (4) τ^(m)_(r)(Y^(S^(K)){S_(k),y_(0)}, Y^(S^(k))_(O){S_(k),y_(O))□τ^(m+k)_(r)(Y,Y_(O),y(O)) (5) π_(m)(Y^(S^(K),y_(O))□π_(m+k)(Y,y(O))+π_(m)(Y, y(O)) (6) π_(m)(Y^(S^(K)) ,Y^(S^(K))_(O), y_(0))□π__(m+k)(Y,Y_(O),y(O))+π__(m)(Y,Y_(O),y(O)) (7) τ^(m)_(r)(Y^(S^(K)), y_(O))□τ^(m+k)_(r)(Y,y_(O)) + τ^(m)_(r)(Y,y_(O)) (8) τ^(m)_(r)(Y^(S^(K)),Y^(S^(k), y_(O))□τ^(m+k)_(r)(Y,Y_(O),y_(O)) + τ^(m)_(r)(Y,Y_(0),y_(O));Let Z be an arbitrary topological space. If either (a) X and Y are both locally separable or (b) X is regular and locally compact. Then σ: Z^(X×Y) → (Z^(X))^(Y) is homeomorphism. We apply the above result into homotopy gioups, and obtain some theorems concerning torus homotopy groups. We show that (ⅰ) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (ⅱ) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (ⅲ) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) To end up, we will deal with the further applications for torus homotopy groups, and obtain the following relation: (1) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (2) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (3) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (4) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (5) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (6) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (7) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) (8) ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요)