그림을 이용한 기하 문제 해결 과정에 대한 사례 연구

Abstract

In order to provide the teaching-learning method suited to help students with different levels, it is needed to empirically analyze the thinking process by which a student orientate him or herself, organizes a plan, executes and evaluates it. This analysis may also suggest the teaching-learning method to understand what causes a student to make an error in solving a mathematical problem and how to correct it. This thesis therefore examines the following points: Firstly, the main characteristics of the spatio-graphical(S-G) and theoretical(T) fields in the geometrical problem solving via graphical visualization, which consists of three phases of orientation, organization/execution, and conclusion/verification. Secondly, the factors that affects the move from the S-G field to the T-field, or vice versa. The problem solving processes from four middle school third-grade students are investigated to answer these questions. After having made them solve two problems in Duval(1998) and Schoenfeld(1985), we carry out interviews to confirm the answer sheets and collect the students' statements on their problem solving processes, all of which are video-recorded, documented and then analyzed. Our findings on each phase of problem solving are summarized as follows: Firstly, the visual representation in the orientation phase stimulates intuition from its own image and helps one discover the clues of the problem. Secondly, one freely moves between the S-G and T-fields in the organization and execution phases, where he or she employs `specification', linguistic reasoning, and visual thinking, based on the personal preferences and past experiences. Thirdly, underachieving students are sometimes observed to show outstanding capability in dealing visually with mathematical problems. Fourthly, visualization may lead to an erroneous conclusion by making one obey the sensory decision carelessly. Fifthly, the solutions are found from visual inference or from the mathematical concepts in the T-field. The verification phase for checking it, however, is hardly observed in the students' problem solving processes.;수학은 어떤 수학적 대상을 추상화하는 과정과 추상화에 의해 생성된 개념을 다루는 학문이다. 이러한 수학의 추상성 때문에, 학생들은 수학적 개념을 쉽게 이해하지 못한다. 그러므로 수학 교수-학습에서 추상적인 수학적 개념을 다룰 때, 구체물이나 지각에 도움이 되는 매개체를 이용하는 것은 효율적인 교수-학습 방안이 될 수 있을 것이다. 이를 위해 학생들의 문제해결 과정을 자세히 살펴보면서 학생들이 실제로 어떤 사고 과정을 통해서 문제해결을 위한 방향을 설정하고, 과정을 계획하고, 실행하며, 반성하는지를 분석하여 서로 다른 능력과 수준을 가진 학생들에게 실질적으로 필요한 교수-학습 방안을 모색해보아야 한다. 또한 수학 문제해결 과정에서 오류가 발생하는 학생의 경우에는 그 원인을 파악하여 오류를 교정할 수 있는 교수-학습 방안도 제안해 줄 수 있을 것이다. 이런 연구의 필요성에 따라 본 논문은 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 그림을 이용한 기하 문제해결 과정의 방향설정, 계획수립 및 실행하기, 결론도출 및 정당화의 3단계에서 나타나는 Spatio-Graphical영역(S-G영역)과 이론적 영역(T-영역)의 특징은 무엇인가? 둘째, S-G 영역 → T 영역, T 영역→ S-G 영역의 이동에 영향을 주는 요인은 각각 무엇인가? 연구 문제를 해결하기 위해 M 중학교 3학년 학생 4명의 문제풀이 과정을 조사하였다. Duval(1998)의 논문에서 직사각형의 대각선 위를 움직이는 점을 이용하여 만든 두 직사각형의 넓이 비교 문제와 Schoenfeld(1985)의 연구 중 문제를 푸는 수학적 행동의 특징 분석에서 사용된 두 직선에 접하는 원을 작도 하는 문제를 풀게 한 후, 면담조사를 실시하였다. 면담은 문제 풀이가 끝난 후 활동지를 바탕으로 답한 내용을 확인하고, 학생들이 그 답을 이끌어 낸 과정과 이유에 대해 설명해 보도록 하였다. 모든 면담은 녹화를 하였고, 면담자와 학생 간에 이루어진 모든 대화 내용은 타이핑을 통하여 문서화 한 후, 문서화된 자료를 분석하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 결과를 알 수 있었다. 먼저 문제해결 단계별로 나타나는 특징을 정리하면 다음과 같다. 첫째, 수학 문제해결 방향 설정 단계에서 시각화된 표상은 자체의 이미지를 통해 직관을 발현하게 하였으며 시각적 정보를 통해 문제 해결 실마리를 찾는다. 둘째, 수학 문제해결 계획 수립 및 실행 단계에서 S-G 영역과 T-영역의 자유로운 이동이 나타나는데 개인의 선호 및 이전 문제 풀이 경험에 따라 ‘특수화’, 언어-논리적인 방법, 시각적 사고를 이용하여 문제를 해결하려고 한다. 셋째, 성적이 낮은 학생의 문제해결 과정에서 뛰어난 시각적 사고가 발견되기도 하였다. 넷째, 문제해결 과정 속에서 감각에 의한 판단만을 중시하여 시각적 한계에 의한 오류를 일으키기도 한다. 다섯째, 결론 도출 및 정당화 단계에서 시각적 추론 과정을 통해 해를 구하거나 수학적 개념(T-영역)을 이용하여 결론을 이끌어냈다. 하지만 자신의 해의 진위를 확인하기 위한 정당화 단계는 학생들의 문제해결 과정 속에서 크게 나타나지 않았다. 다음으로 S-G 영역과 T-영역간의 이동에 영향을 주는 요인을 살펴보면 다음과 같이 정리할 수 있다. 첫째, S-G 영역에서 T영역으로의 이동은 방향설정 단계에서 계획수립 및 실행하기 단계로 넘어갈 때 주로 나타났는데 개인이 가지고 있는 총체적인 인지구조와 관련된 개념이미지와 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의인 개념정의, 수학적 성질, 수학적 정리 등 수학적 개념이 주요 요인으로 작용하였다. 둘째, T영역에서 S-G 영역으로의 이동은 주로 계획 수립 및 실행하기 단계 안에서 이루어지거나 결론 도출 단계로의 이동에서 나타나는데 학생들의 직관력과 시각적 사고 능력이 주요 요인으로 작용하였다. 그러나 정당화 단계로의 이동에서 나타난 T-영역에서 S-G영역으로의 이동은 직관 및 시각화에 의한 오류가 나타나기도 하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결과를 바탕으로, 몇 가지 시사점을 논의하면 다음과 같다. 첫째, 학생들의 기하 문제해결 과정에서 시각적 사고는 문제해결 방향을 설정하는데 도움을 준다. 교사는 수학에 어려움을 겪는 학생들에게 시각적 사고를 격려함으로써 문제해결의 단서를 발견하고 해결책을 발견하는 예상 직관의 경험을 할 수 있도록 지도할 수 있을 것이다. 둘째, 문제해결 방법은 고정되어 있지 않다는 것을 알게 해야 한다. 대부분의 학생들은 학습 과정에서 교사들이 선호하는 방법으로만 문제를 해결하려는 경향이 강하다. 하지만 교사들이 제시한 방법이외에도 해를 구할 수 있는 많은 방법이 있음을 인식시키고 학생들의 다양한 사고의 표현을 권장하는 학습이 시행되어야 할 것이다. 셋째, 학생들의 과정에 대한 평가체제가 강조되어야 한다. 평가는 교사와 학생 모두에게 가치 있는 정보를 만들어주는 하나의 수단이다. 문제해결 과정에 대한 평가는 학생들의 S-G 영역과 T 영역간의 이동을 확인할 수 있게 도와주어 부족한 면을 알아보고 그것을 보완해주는 도구가 될 수 있을 것이다. 그러므로 관찰 평가, 면담 평가, 포트폴리오, 학습 일지 등 다양한 수행평가 방법을 활용하여 학생들에게 실질적인 도움을 줄 수 있는 평가가 시행될 수 있도록 교사는 노력해야 할 것이다. 넷째, 학생들의 수학적 사고 능력과 수학 평점을 동일시하지 말아야 한다. 본 연구에 참가한 학생 J는 비록 수학 평어는 모두 “가”로 낮았지만 문제 해결 과정 속에서 문제를 표현한 그림을 문제해결을 위한 발견과 이해를 위한 이미지로 형성하고 효과적인 문제해결 방법으로 이끄는 안내자의 역할로 사용하며 창조적 발견을 하였다. 언어-논리적 표현 능력의 미비로 인해 그것을 수학적 식으로 표현하지 못하였지만 학생에게 직관적으로 일어난 시각적 사고 과정의 중요성을 일깨워주고 형식적 표현 능력의 부족한 면을 채울 수 있게 도와주는 교수-학습이 시행되어야 할 것이다. 다섯째, 인간의 시각적 능력에는 한계가 있기 때문에 시각에 의한 감각적 판단은 정보에 대한 착각이나 오류를 일으키기도 한다는 사실을 주지시켜야 할 것이다. 연구에 참가한 학생 E의 경우에서처럼 문제를 이해시키기 위해 제시한 그림이 변형되지 않고 고정 되어 있다고 생각하여 그림의 시각적 정보에 치중하면 문제해결의 초기에 장애로 작용할 수도 있기 때문에 교사는 학생들이 문제해결을 시도할 때 문제에 대한 체계적이고 명확한 분석과 이해가 선행되어야 함을 강조하여야 한다.