Metrics on Riemann surfaces

Abstract

Let (M, g) denote a smooth compact two-dimensional manifold, equipped with some Riemannian metric g. And let k be a curvature function of g and K a curvature function of metric g～ = e^(2u)g, u∈C^(∞)(M). In this thesis, we first study a basic problem in Riemannian geometry. The problem is that of describing the set of metrics a given manifold can posses. We have the following Theorem: 1. there is a general solution u(x)= ∫_(M) G(x, y)k(y)dA(y) for equation △u= k, with X(M)= 0 and K ≡ 0, and 2. the equation ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) on S^(2) has a rotationally symmetric solution u(θ)= -(1/2)ln(2+cos^(2) θ). ;(M,g)을 어떤 Riemannian metric g을 가진 compact, 2차원의 다양체라하고, k는 metric g 의 곡률함수 이고, K는 metric g~ = e^(2u)g 의 곡률함수라 하자. 이 논문에서 우리는 먼저 주어진 다양체가 소유하는 metric들과 곡률들 사이의 관계에 대해 공부하고, 주어진 곡률에 따라 metric을 구하면 다음 정리들을 얻는다 1. 조건 x(M) = 0 과 K = 0 이 주어진 방정식 △u = k 의 일반해는 u(x) = ∫_(M) G(x,y) k(y) dA(y)이다 2. 2차원구 S^2 상의 방정식 △u +8-2cos^2θ/2+2cos^2θe^(2u) = 1은 smooth한 해 u(θ) = -(1/2)ln(2+cos^2θ)을 가진다.