ON WALSH FOURIER COEFICIENTS

Abstract

Using Marcinkiewicz interpolation theorem, Paley obtained some important theorems on Fourier coefficients. Later Hardy and Littlewood applied the theorems to trigonmetric Fourier coefficients and was able to give necessary and sufficient condition that a certain sequence of numbers should be the trigonmetric Fourier coefficients of a function in some L^(p). In this thesis we show that the similar theorems hold for Walsh Fourier Coefficients, that is, as the main theorem, we show the following (i) A necessary and sufficient condition that numbers c_(n)→0 should be, for every variation of their arrangement, the Walsh Fourier coefficients of a function fεL^(q), is that β*_(q,w)[c]<∞. If the condition is satisfied, then ∥f∥_(q)≤A_(q)β*_(q,w)[c] for every such f. (ii) A necessary aid sufficient condition that the c_(n) should be, for some variation of their arrangement, the Walsh Fourier coefficients of an fεL^(p), is that β_(p,w)*[c]<∞. Moreover, we have β*_(p,w)[c]≤A_(p)∥f∥_(p) for every such f.;Paley 는 Marcinkiewicz Interpolation 정리를 사용하여 Fourier 계수에 관한 중요한 정리들을 얻었다. 그 후에 Hardy 와 Littlewood 가 그 정리들을 trigonometric Fourier 계수에 적용시키고 어떤 수열이 L^(p) 에 속하는 함수의 trigonometric Fourier 계수가 되는 필요충분조건을 주었다. 이 논문에서 우리는 Walsh Fourier 계수에 대해서도 비슷한 정리가 성립한다는 것, 즉, 아래와 같은 정리를 보인다 : (1) 0으로 수렴하는 수열 c_(n) 이 그 수열의 배열의 변환에 관계없이 L^(q) 속하는 함수의 Walsh Fourier 계수가 되는 필요충분조건은 β_(q,w)^(*)[c]^( < ∞) 이다. 만약 의의 조건이 만족되면 모든 함수 f 에 대해서 ∥f∥_(q□) A'_(q)β^(*)_(q,w)[c] 가 성 립한다. (2) 수열 c_(n) 이 그 수열의 배열의 어떤 변환에 대하여 L^(p) 에 속하는 함수의 Walsh Fourier 계수가 되는 필요충분조건은 β_(p)^(*)_(w)[c]^( < ∞) 이다. 더 나아가서 우리는 그러한 모든 함수 f에 대해서 β_(q,w)^(*)[c] □ A_(p) ∥f∥_(p) 인 관계를 얻는다.