3차 비선형 광학 효과와 솔리톤에 관한 연구

Abstract

이 논문에서는 솔리톤 해를 갖는 여러 비선형 방정식 중 Kortweg-de Vreis(KdV) 방정식, Sine-Gordon(SG) 방정식, 비선형 슈뢰딩거(NLS) 방정식을 소개하고 그 솔리톤 해의 성질을 살펴 보았다. KdV방정식은 Cole-Hopf 변환을, SG방정식은 Ba¨cklund 변환을 이용해서 하나의 솔리톤이 있을 때와 두개의 솔리톤이 있는 경우의 해석적인 해를 구할 수 있음을 보였다. 비선형 방정식을 풀기 위한 방법의 하나로 역산란 변환(inverse scattering transformation)을 소개했다. 역산란 변환은 χ → ±∞에서 퍼텐셜이 0임을 이용해서 산란계수의 시간 전진 연산자에 대한 해를 구하고 이 산란계수로부터 퍼텐셜을 구하는 것이다. 비선형 방정식의 해를 일반적인 슈뢰딩거 방정식의 퍼텐셜로 나타낼 수 있는 경우 역산란 변환을 이용해서 비선형 방정식의 해를 구할 수 있다. 본 논문에서는 3차 비선형 광학 현상 중 하나인 자체 집속 현상(self-focusing)의 해를 역산란 변환을 통해 구해 보았다. 광섬유에서의 전기장의 전파에 대해 맥스웰 방정식으로부터 NLS 방정식을 유도할 수 있다. 입력파에 대해 주파수의 함수인 군속 분산(group velocity dispersion, β_(2)(ω))과 펄스폭을 변화시키면서 솔리톤 해의 펄스폭과 진폭, 솔리톤 주기가 어떻게 변하는가를 살펴 보았다.;In this thesis, Kortweg de Vries(KdV), sine-Gordon(SG) and nonlinear Schro¨dinger(NLS) equations among nonlinear equations that have soliton solutions and the properties of their soliton solutions are studied. It is shown that the analytical solutions of KdV and SG equation can be obtained through Cole-Hopf transformation and Backlund transformation, respectively. The inverse scattering method is reviewed to solve nonlinear equations. By the fact that potential is zero as x→±∞, time evolution of the scattering coefficient is obtaind. Then the potential can be obtained through this scattering coeffcient. This is an inverse scattering transformation. Here, the inverse scattering transformation is used to obtain the solution of the self-focusing in third order nonlinear optical phenomena. NLS equation is induced from Maxwell's equation given in optical fields in optical fibers. Especially, the properties of the soliton solution of NLS equation such as pulse width, amplitude and soliton length are investigated in detail by changing group velocity dispersion β_(2)(ω) and pulse width of the input wave.