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실생활과 연계된 분수 연산 학습

Title
실생활과 연계된 분수 연산 학습
Other Titles
Fractional operations learning connected with everyday life : Centered on contextual problems
Authors
김성미
Issue Date
2005
Department/Major
대학원 수학교육학과
Publisher
梨花女子大學校 大學院
Degree
Master
Abstract
분수 개념은 초·중등 학교수학에서 경험하게 되는 중요한 수학적 개념 중의 하나이다. 그럼에도 불구하고 학생들은 분수 개념을 제대로 이해하지 못하고 있는데 그 이유는 분수 개념이 여러 하위 개념을 지닌 복합적인 개념이기도 하지만 분수 이해를 더욱 어렵게 하는 것은 현실과 괴리된 채 기호와 알고리즘적 계산에 치우친 분수 수업 때문이다. 많은 연구자들은 이와 같이 실생활과 유리된 분수 수업의 문제점을 지적하면서 분수 수업에서 현실적인 상황에서의 실제적인 소재 즉, 실제적인 상황을 활용하여야 한다고 주장하였다. Irwin(2001)은 학생들의 경험에 바탕한 비형식적 지식을 ‘일상적 지식’으로, 학습되어야 할 지식 체계를 ‘과학적 지식’으로 보고 보다 의미 깊은 수학적 이해를 위해 실생활과 연계된 수업을 강조하였다. 그는 수학 교육의 궁극적 종착점을 과학적 지식의 습득으로 보고 있지만, 과학적 지식과 일상적 지식의 연계는 중요하며, 그 둘이 잘 연계될 수 있도록 자극하는 방법으로 일상적 지식을 풍부하게 사용할 수 있는 문제 상황 즉, 학생들에게 친숙한 맥락을 담고 있는 과제를 제시해야 한다고 한다. 분수 수업은 크게 분수의 개념과 분수의 연산에 관한 것으로 나뉜다. 학생들은 특히 분수 연산에서 의미를 도외시한 채 기호와 알고리즘적 계산에 치우친 학습을 하고 있다. 따라서 본 연구에서는 학교수학에서의 분수 수업에 대한 문제점과 실생활 상황과 연계된 분수 수업의 필요성을 인식하고, 분수 연산 학습에서 적절한 맥락문제를 학생들의 학습활동에 적용하여 그 효과를 살펴보고자 하였다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 분수 연산 학습에서 맥락문제 학습활동 집단과 비맥락문제 학습활동 집단간에 학업성취도의 차이를 알아본다. 맥락·비맥락문제 학습활동 각각에서 상, 하위 집단에 따른 차이를 알아본다. 1-1. 분수 연산 학습에서 맥락문제 학습활동 집단과 비맥락문제 학습활동 집단간에 학업성취도 중 ‘문장제 만들기’ 영역에 있어서 차이가 있는가? 맥락·비맥락문제 학습활동 각각에서 상, 하위 집단에 따른 차이가 있는가? 1-2. 분수 연산 학습에서 맥락문제 학습활동 집단과 비맥락문제 학습활동 집단간에 학업성취도 중 ‘식 세우기’ 영역에 있어서 차이가 있는가? 맥락·비맥락문제 학습활동 각각에서 상, 하위 집단에 따른 차이가 있는가? 1-3. 분수 연산 학습에 있어서 맥락문제 학습활동 집단과 비맥락문제 학습활동 집단간에 학업성취도 중 ‘계산하기’ 영역에 있어서 차이가 있는가? 맥락·비맥락문제 학습활동 각각에서 상, 하위 집단에 따른 차이가 있는가? 2. 분수 연산 학습에서 학생들은 일상적 지식을 어떻게 활용하는가? 3. 분수 연산 학습에서 일상적 지식과 과학적 지식의 연계 가능성과 관련한 학생간 대화 유형은 어떠한가? 본 연구를 수행하기 위하여 서울시 소재의 K초등학교 6학년 2반 학생들 중 <분수 개념>검사를 거쳐 16명을 선정하였으며, 이 학생들은 분수 개념과 연산 단원의 교과 수업을 다 마친 상태였다. 이를 두 집단으로 나눠 한 집단에는 맥락문제를 활용한 실험수업을 다른 집단에는 비맥락문제를 활용한 실험수업을 방과 후 연구자와 담임교사의 안내 하에 실시하였다. 실험 실시 기간은 2004년 12월 7일부터 3주간 실시되었으며 처치에 이용된 학습 단원은 ‘분수의 연산’이다. 연구를 위한 실험처치는 두 집단에 다른 문제 유형(맥락문제, 비맥락문제)을 주고, 2인 1조로 구성된 학생 두 명이 토의를 통해 협력하여 주어진 활동지 문제를 해결하는 방식으로 진행되었다. 본 연구에서는 사전, 사후 검사로 분수 연산에 관한 학업성취도 검사가 실시되었으며, 실험수업 중 학생들이 과제를 수행하기 위해 나눈 대화와 문제 해결 과정을 기록한 활동지가 질적 분석 자료로 활용되었다. 본 연구를 통해 얻은 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 학업성취도 검사의 분석 결과, 맥락문제 학습활동이 비맥락문제 학습활동보다 분수 연산 능력을 더 향상시키는 것으로 나타났으며, 특히 상위 집단보다는 하위 집단에 더 효과가 있는 것으로 나타났다. 분수 연산 검사의 하위 영역인 ‘문장제 만들기, 식 세우기, 계산하기’ 각각을 분석한 결과, ‘문장제 만들기’에서만 실험수업 전후로 검사 점수의 유의한 차이가 발견되었다. 둘째, 문제 해결 과정을 나타낸 활동지와 다이얼로그 예시를 통해 살펴본 학생들의 문제 해결 방법을 보면, 먼저 알고리즘에 기초한 방법으로 문제를 해결한 뒤 그림을 그린다거나 문제 상황에 맞는 문장제 문제를 만들어보는 방법으로 그들의 일상적 지식을 활용했다. 셋째, 활동지와 학생들의 다이얼로그를 일상적 지식의 활용이라는 측면에서 분석하여 살펴본 학생들의 대화 유형은 다음과 같다. 1) 대화가 원활히 진행되지 못하고 상 수준의 학생이 주도적으로 문제를 해결하는 유형, 2) 대화는 원활히 진행되지만 하 수준의 학생은 주로 상 수준의 학생의 설명을 듣고 동의하는 형태로 대화가 진행되어 문제 해결의 주도권이 상 수준의 학생에게 있는 유형, 3) 문제 해결 방법에서 한 학생은 수조작(계산) 방법에 한 학생은 일상적 지식을 활용한 방법에 비중을 두며, 서로 다른 접근 방식이 공유되거나 점검되지 않는 상호독립적 관계, 4) 문제 해결 방법에서 한 학생은 수조작(계산) 방법에 한 학생은 일상적 지식을 활용한 방법에 비중을 두지만 토의를 통해 둘의 서로 다른 접근 방식이 공유되고 점검되는 상호보완적 관계, 5) 대화가 원활히 이루어지면서 상 수준, 하 수준의 학생 모두 일상적 지식을 활용하여 문제를 해결하는 유형이다. 일상적 지식과 과학적 지식의 연계 가능성과 관련해 위의 대화 유형을 살펴보면, 대화 유형 1, 2는 대화의 주도권이 상 수준의 학생에게 있으므로 학생 상호간의 대화의 균형을 잃기 쉽고, 하 수준의 학생이 자신의 일상적 지식을 활용할 기회가 충분하지 않으며, 곧 이것은 일상적 지식과 과학적 지식과의 연계 가능성이 적다고 볼 수 있다. 대화 유형 3은 대화의 주도권이 한 사람에 치우쳐있지는 않지만, 서로의 주된 해결 방법이 서로 공유되지 않는다는 측면에서 일상적 지식과 과학적 지식의 연계가 완전하지 않다고 볼 수 있으며, 대화 유형 4, 5는 상호간에 일상적 지식과 과학적 지식의 연계가 잘 이루어지고 있다고 볼 수 있다. 이상에서 살펴본 연구 결과를 토대로 한 제언 및 후속 연구를 위한 제안은 다음과 같다. 첫째, 본 연구의 실험수업에서 학생들은 문제 해결을 위해 그림을 그린다거나 문장제 문제를 만들어본다거나 하는 등의 일상적 지식을 활용하였지만, 학생들이 가장 친숙하게 접근하는 방법은 알고리즘 위주의 방법이었다. 이는 본 연구의 대상을 초등학교에서 분수 연산에 관한 형식적인 수업을 마친 6학년 학생들을 대상으로 했기 때문으로 보여진다. 학생들이 형식적인 알고리즘적 수학을 습득하기 전에 연산의 의미나 알고리즘의 이해를 위해 맥락문제를 활용한 수업을 도입하여 학생들이 기호에 앞서 의미를 충분히 이해하도록 한다면 분수 연산의 이해 향상에 효과적일 것으로 보인다. 둘째, 본 연구에서의 실험수업은 2인 1조로 구성된 2명의 학생이 토의를 통해 문제를 해결하는 방식으로 진행되었다. 이와 같이 두 학생간의 토의에 의해 문제 해결을 하는 것은 두 학생이 잘못된 문제 해결을 하였을 때, 분수 연산에 대한 잘못된 개념을 가질 수 있다. 따라서, 실험수업의 진행에서 두 학생의 토의만으로 끝나는 것이 아니라 교사의 안내 하에 반 전체 토의를 거치는 과정이 필요하다고 본다. 셋째, 본 연구에서는 의미 이해에 기초하지 않은 기호 조작을 개선하고, 실생활과 연계된 분수 연산 학습을 위해 맥락문제를 제시하여 문제 해결 과정에서 학생들이 그들의 일상적 지식을 활용하도록 하였다. 학생들이 일상적 지식을 활용할 수 있도록 맥락문제를 구성하여 가르치기 위해서는 수학적 개념에 대한 이해와 학생들의 실제에 대한 이해와 세밀한 연구가 요구된다.;Concepts of fraction are one of the important mathematical concepts to be taught in school mathematics. Nevertheless, students cannot rightly understand the concepts, because fraction is a complex concept to contain a lot of subordinate concepts. The most important reason to make understanding of fraction difficult, however, is because a faction class tends to be centered on symbol and algorithmic calculation to be alienated from reality. Pointing out problems of the fraction class to be separated from everyday life, many researchers argued that the class should use the actual situation occurring in our life. Irwin(2001) remarked that informal knowledge based on students' experience was 'everyday knowledge,' and knowledge to be taught is 'scientific knowledge.' He highlighted that the fraction class should connected with everyday life for comprehensive understanding of mathematics. Although Irwin(2001) considered ultimate purpose of mathematics education to learn 'scientific knowledge,' he insisted that integration of scientific and everyday knowledge was important. In oder to consolidate the integration, the problems which make possible to apply abundant everyday knowledge or the problems which contain familiar context to students should be presented(Irwin, 2001). The part of the fraction class is largely divided into concepts and operation of fraction. Particularly, in fractional operations, students's study is inclined to a symbol and algorithmic calculation without comprehension of the meaning of fraction. Accordingly, this research was purposed to acknowledge the problem of the fraction class in school mathematics and necessity of the class connected with everyday life. This study also investigated the effect of the appropriate contextual problem which was applied to students' activity in fractional operations learning. For this reason, following research questions were drawn. RQ 1. This study looks for the difference of achievement between two groups which perform the contextual and noncontextual problems in fractional operation learning. In learning of contextual and noncontextual problems respectively, this study investigates the difference between higher and lower ranked groups. RQ 1-1. In the 'creating arithmetic sentence problem' section of fractional operation learning, is there difference of achievement between two groups which perform the contextual and noncontextual problems? Is there difference between higher and lower ranked groups in the contextual and noncontextual problems learning respectively? RQ 1-2. In the 'making formula' section of fractional operation learning, is there difference of achievement between two groups which perform the contextual and noncontextual problems? Is there difference between higher and lower ranked groups in the contextual and noncontextual problems learning respectively? RQ 1-3. In the 'calculation' section of fractional operation learning, is there difference of achievement between two groups which perform the contextual and noncontextual problems? Is there difference between higher and lower ranked groups in the contextual and noncontextual problems learning respectively? RQ 2. How do students apply everyday knowledge to fractional operation learning? RQ 3. What is the type of students' dialogue connected with integration of everyday knowledge and scientific knowledge in fractional operation learning? In order to conduct this study, the author selected 16 students who passed the fraction concept test among the sixth grade students at K elementary school in Seoul. Those students have already completed the curriculum of fractional concept and operation units. After the regular class, dividing the students into two groups, the researcher and a class teacher performed one intervention to give contextual problem and the other intervention to give noncontextual problem respectively. The experiment has been making over three weeks from December 17, 2004. The unit of 'fractional operation' was used for this experiment. For the experimental intervention of this study, two groups were given different types of problems (i.e., contextual and noncontextual problems) so that pairs of students solve the given problems on the worksheet through their discussion and cooperation. For pretest and posttest, this research conducted the achievement test of fractional operation learning. The students' dialogue and worksheet to record the process of problem solving was used for qualitative analysis data. The results of this research are followed. First, the analysis of the achievement test showed that contextual problem learning was more effective than noncontextual problem learning in improving the fractional operation ability. In particular, this effectiveness is more in lower ranked group than in higher ranked group. For the analysis of 'creating arithmetic sentence problem,' 'making formula' and 'calculation' in the subordinate areas of fractional operation test, significant difference between before and after the intervention was found only in the area of 'creating arithmetic sentence problem.' Second, students' worksheet and dialogue to record the problem solving process told that the students applied their everyday knowledge to problem solving (i.e., drawing a picture or creating arithmetic sentence problem) after solving the problem through the method based on the algorism. Third, when analyzing students' dialogue and worksheet in the aspects of application of everyday knowledge, five types are drawn: 1) the type that the dialogue is not smoothly proceeded and higher ranked student has the initiative to solve the problem, 2) the type that the dialogue is smoothly advanced but lower ranked student mainly listens to the higher ranked students' explanation and agrees to them. In this type, higher ranked student still leads the problem solving. 3) mutual independent relationship that one student gives consequence to calculation in problem solving process and the other student to everyday knowledge. In this relationship, two students' approaches are not shared. 4) mutual cooperation relationship that one student gives consequence to calculation in problem solving process and the other student to everyday knowledge, but two students' approaches are shared through discussion between them, and 5) the type that discussion between two students is actively performed and all of higher and lower ranked students solve the problem by applying everyday knowledge. When examining the dialogue types in aspect of integration of everyday knowledge and scientific knowledge, higher ranked student leads the conversation in types 1 and 2. At these types, it is not easy to keep the balance of dialogue between two students so that lower ranked student's chance to use their own everyday knowledge is rarely given. It means that there is little possibility to integrate everyday knowledge and scientific knowledge. Type 3 shows that the dialogue does not drawn by one person and two students' main method to solve the problem is not shared. It implies that integration of everyday and scientific knowledge does not tend to be completed. In addition, types 4 and 5 presents that everyday knowledge and scientific knowledge are appropriately integrated. Based on the results of this study, three points would be suggested for future research. First, in the experimental class of this research, even if students applied everyday knowledge such as drawing a picture or creating arithmetic sentence problem to the problem solution, the most familiar method to the students is algorism centered solution. It is because the subjects of this study are in the sixth grade of elementary school. They have already finished the formal class about fractional operation. In order to comprehensively understand the meaning of operation or algorism prior to learning algorithmic mathematics, it is recommended to introduce the class to use the contextual problem and to improve students' comprehension of the meaning before a symbol. If so, it would be helpful to increase students' understanding of fractional operation. Second, the experimental class was conducted under the process that pairs of students found the solution of the problem by discussing each other. However, this form of problem solving tends to mislead accurate concepts of fractional operation if two students fail to get a right answer to the given questions. Therefore, it is necessary for teachers to administer students' discussion during the process of problem solving. Finally, this research was designed to improve symbol manipulation not accompanying understanding of the meaning and to induce students to apply their everyday knowledge to the problem solving process by presenting contextual problem for fractional operation education connected with everyday life. In order to organize contextual problem so that students could apply everyday knowledge, it is necessary to understand mathematical concepts and to carefully study students' reality.
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