10-나 삼각함수 단원의 교수학적 변환에 관한 연구

Abstract

This paper is about didactical transposition, which is to transpose academic knowledge into practical knowledge intended to teach. The research questions are addressed as follows. 1. Are 13 versions of the 10-Na level of the mathematics textbook indisputable in relation to didactical transposition when the order of arranging and the way of explaining the knowledge of trigonometric functions are analyzed and its logical construction and students’ understandings are considered? 2. Can a better didactical way or a practical change be proposed? To answer these questions, this research examined previous studies of mathematics education, specifically the organization of the textbook and the trigonometric functions, and also compared orders of arranging and ways of explaining trigonometric functions from the perspective of didactical transposition of 13 versions of the 10-Na level reorganized under the 7th curriculum. The paper investigated what lacks in the present textbook and sought a teaching guideline of trigonometric functions. The research results are summarized and discussed as follows. First, the introduction of trigonometric functions in the present mathematics textbook has the sector followed by radian. The introduction of sector mainly presents formulas for the lengths of arcs and the areas of sector and focuses on the application of the formulas. The formulas for sector, however, have already been introduced in the 7-Na level and replayed in the 10-Na level, which seems to be meaningless. Instead of the formulas related to sector, a similarity between sectors should have been introduced. Sectors of the same radius are all similar regardless of the radius. This is the central part of the indication of angles by the radian and furthermore a basic concept in developing trigonometric functions using a unit circle. Second, 8 versions of the textbook explain the graph of sin□ in a way of jumping into a graph from a unit circle, and three versions roughly represents a dotted graph with sin□ values at intervals of 90□. If the dots are all connected, using arrows, the outline of the graph is revealed. Two versions make students figure out ordered pairs of sin□ values using a tables of trigonometric function attached to the appendix, mark them on the rectangular coordination system and figure out a more appropriate shape before showing a graph from a unit circle. The graph of cos□ has a substantial agreement with sin□. Students have learned to complete a graph by starting with roughly guessing a shape by figuring out ordered pairs involved in a function and marking them on the rectangular coordination system. This is a basic way to draw a graph and most familiar to students. Thus, it would be most effective to apply the same way to trigonometric functions. Third, all of the 13 versions make no difference of introducing period of trigonometric functions. Most of them introduce the concept of period and deal with the period-related questions in the process of explaining f(x+p)=f(x) of the sin□ and cos□ graphs. This can cause students to get confused because the middle stage of solving the questions is left out and to have difficulty understanding as a consequence. Instead, the practical introduction of period of trigonometric functions by changes of units can be suggested. Such an introduction is easy for students to accept intuitively and can simplify the process of solving the period-related questions. Fourth, most of the 13 versions explain characters of trigonometric functions from a unit circle using the symmetrical movement of the x and y coordination. The explanation needs more pictures. In addition, it can be repeated depending on which quadrant an angle is located in and make students feel bored and lost interest. Instead, the introduction of characters about trigonometric functions using the symmetrical and parallel movements is suggested. This introduction easily appeals to students’ intuition, is familiar to those who have already learned the symmetrical and parallel movements on the graphs of function, and is appropriate to using mechanical tools such as a graphic calculator. Fifth, the sine rule in the present mathematics textbook demonstrates an angle of the triangle by classifying it into acute, right, and obtuse angles using the triangle’s circumscribed circle and generalizes the way of demonstration into the remaining angles. This is a cumbersome way since it goes through all the three different angles. In addition, the same explanation is repeated since the case of an angle is generalized into the other two angles and can cause students to lose interest. To solve those problems, the consideration of a chord and an angle of circumference before the introduction of the sine rule is suggested. Every chord has two angles of circumference. Thus, the demonstration of the chord rule is briefer and easier to understand than three angles of the triangle which should be covered respectively. It is also simpler and easier to remember than the sine rule. With the approach to the chord rule instead of focusing on the sine rule, the rule of sine as an application of the chord rule will enable you to understand a more general and important principle.;본 연구는 교육적 의도를 가지고 학문적인 지식을 가르칠 지식으로 변형하는 일, 즉 지식의 교수학적 변환(didactical transposition)에 관한 것이다. 본 연구의 목적은 교수학적 변환의 시각으로 10-나 단계 수학 교과서의 삼각함수 단원을 분석하여 그 결과를 바탕으로, 단원의 효율적인 지도를 위한 교수학적 변환의 방안을 제안하는데 있다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 내용을 설정하였다. 1. 13종의 10-나 수학 교과서에서 삼각함수 단원의 내용 배열순서 및 설명 방식을 분석하고 그 결과, 내용의 논리적 구성과 학생의 이해를 함께 고려할 때, 드러나는 교수학적 변환의 문제점은 없는가? 2. 문제점이 있다면 더 효과적인 교수학적 변환의 방법이나 실제적 개선안을 제시할 수 있는가? 이를 위해 수학교육, 특히 교재구성과 관련된 이론과 삼각함수 단원과 관련한 선행연구와 문헌 등을 살펴보았고, 제 7차 교육과정으로 개편된 13종의 수학교과서 10-나 단계의 삼각함수 단원을 교수학적 변환의 시각에서 배열순서, 설명방식의 차이를 위주로 비교 분석하였다. 또한 13종 수학 10-나 교과서의 분석 결과를 토대로 현행 교과서의 부족한 점을 알아보고, 삼각함수 단원의 이해를 돕기 위한 지도방안을 알아보았다. 본 연구의 결과로 얻은 결론은 다음과 같다. 첫 째, 현재의 수학 교과서는 삼각함수 단원의 도입부에서 호도법의 소개에 이어 부채꼴에 관한 내용을 다루고 있다. 부채꼴을 도입하는 방식을 살펴보면, 13종 대부분의 교과서가 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 공식을 제시하는 위주로 전개되고, 그 공식을 이용하여 호의 길이나 넓이를 구하는 것에 중점을 두고 있다. 그러나 부채꼴에 관련한 공식은 7-나 단계의 수학 교과서에 이미 소개됐던 내용으로, 이 부분에서 부채꼴을 왜 다시 다루어야 하는 지에 대한 적절한 의미를 찾기 어려웠다. 부채꼴에 관련한 공식 대신에 부채꼴에 대한 소개 부분에서 다루어야 할 중요한 내용은 부채꼴의 닮음이다. 중심각이 같은 부채꼴들은 반지름에 관계없이 모두 닮음이다. 이것은 호도법을 이용한 각의 표시에 있어서 핵심적 개념이며(부채꼴은 커져도 반지름에 대한 호의 비가 일정하므로) 나아가 삼각함수를 단위원을 이용하여 전개할 수 있게 하는 기본개념이기 때문이다. 또한 삼각함수의 정의에서 단위원을 사용하지 않으면 반지름 이 사용되고, 이때 은 하나의 매개변수(parameter)와 같아 보일 우려가 있다. 둘 째, 현재의 수학 교과서가 삼각함수의 sin의 그래프를 설명하는 방식을 살펴보면, 8종의 교과서는 단위원에서 그래프로 바로 제시하는 방식을 택하였고, 3종의 교과서는 sin의 값을 의 간격으로 값을 구해놓고 그 사이 그래프의 모양을 화살표의 방향을 이용하여 대충의 개형을 알 수 있게 하였다. 2종의 교과서는 부록에 실려 있는 삼각함수표를 이용하여 sin 값의 순서쌍을 구하게 하고, 그것을 좌표평면에 직접 점으로 찍어보게 하여 좀 더 정확한 개형을 추측하게 한 후 단위원에서 그래프를 제시하고 있다. 의 그래프 역시 sin와 대동소이 하였다. 학생들은 그래프를 그릴 때에 함수의 순서쌍을 구하여 그것을 좌표평면에 점으로 찍어서 그 개형을 추측해보는 활동으로 시작하여 그래프를 완성하도록 배워왔다. 이것은 그래프를 그리기에 있어 가장 기본이 되는 방법이고, 학생들에게 친숙한 방식이라는 장점을 가지고 있다. 따라서 삼각함수의 그래프 또한 순서쌍을 구하여 좌표평면에 점찍어 보게 하는 것이 가장 쉽고, 효과적인 방법이 될 것이다. 그러나 현재 교과서들은 단지 2종의 교과서만이 이러한 방법을 택하고 있다. 셋 째, 현재의 수학 교과서가 삼각함수의 주기를 소개하는 방식을 살펴보면, 13종의 교과서들이 별다른 차이점을 보이지 않았다. 대부분의 교과서들이 사인함수, 코사인함수의 그래프의 개형을 설명하면서 임을 이용하여 주기의 개념을 도입하였고, 기본형이 아닌 삼각함수의 주기를 구하는 문제에 있어서도 임을 이용하여 문제를 다루는 구성을 취하고 있었다. 이러한 방식은 주기 문제풀이 과정에서 중간과정이 생략되어 혼란을 초래할 수 있는 단점이 있고, 결과적으로 학생들이 이해하기가 쉽지가 않다. 이 보다는 삼각함수의 주기를 단위의 변화라는 개념을 이용하여 실용성을 위주로 도입하는 것을 제안하는데, 이는 학생들이 직관적으로 받아들이기에 쉽고, 주기를 구하는 문제를 풀이하는 과정 또한 간단해 질 수 있는 장점을 가지고 있기 때문이다. 넷 째, 현재의 수학 교과서가 삼각함수의 성질을 설명하는 방식을 살펴보면, 13종 대부분의 교과서가 단위원에서 좌표의 대칭이동을 이용하여 삼각함수의 성질을 설명하였다. 그러나 이 설명이 완전해지려면 몇 개의 그림이 더 필요하고, 각이 어느 사분면에 있느냐에 따라 같은 설명이 반복되어 그 과정에서 학생들이 지루해하고 흥미를 잃을 우려가 있다. 이 보다는 삼각함수의 성질을 그래프의 대칭이동과 평행이동 등을 이용하여 가르칠 것을 제안하는데, 이는 보다 직관적인 방법으로서 학생들이 이해하기가 쉽고, 삼각함수 단원 이전에 이미 함수 그래프의 대칭이동과 평행이동을 배운 학생들에게 더 친숙한 방법이 될 수 있으며, 그래픽 계산기 등의 공학 도구를 이용하기에도 더 적합하기 때문이다. 다섯 째, 현재의 수학 교과서가 삼각함수의 사인법칙을 설명하는 방식을 살펴보면, 12종의 교과서는 삼각형의 외접원을 이용하여 각 A의 크기를 예각, 직각, 둔각으로 나누어서 각 A의 경우에 대한 증명을 해보이고, 또 같은 방식으로 각 B와 C에 대해서 일반화시키는 방식을 택하였는데, 이는 각 A에 대한 예각, 직각, 둔각인 경우를 모두 나누어야 생각해야 하므로 번거롭고, 나머지 각에 대해서도 A와 같은 방식으로 일반화 시키므로 그 과정은 학생의 입장에서는 앞에서와 비슷한 얘기가 반복됨으로써 흥미를 잃기 쉬워진다. 한편, 1종의 교과서는 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 이용하여 매우 간단하게 설명하였다. 이를 위해 삼각형의 넓이와 사인법칙의 도입순서를 다른 교과서들과 달치 배치하였다. 그러나 이 경우 역시 예각, 직각, 둔각 삼각형의 각 경우를 생각해야하므로 번거롭고, 유사한 증명이 반복된다는 점에서는 앞의 교과서들과 유사하다. 이 문제를 해결하기 위해 사인법칙과 관련하여서는 사인법칙을 가르치기 이전에 현과 원주각에 대한 고찰로부터 시작할 것을 제안한다. 현의 법칙의 증명은 모든 현이 두 개의 원주각(하나가 예각이면 다른 것은 둔각)을 가지므로 삼각형의 세 각을 각각 증명해야 하는 사인법칙의 증명 보다 간결하여 이해하기가 쉽고, 현의 공식은 사인법칙의 공식보다 짧고 간단하여 기억하기도 쉽다. 이와 같이 사인법칙을 강조하는 대신에 현에 관한 일반법칙으로 접근하게 되면 현의 법칙의 응용인 사인법칙은 이 정리의 계로서 배우면서 더 일반적이고 중요한 원리를 이해할 수 있게 될 것이다. 이상의 결론과 관련하여, 본 연구는 관련된 문헌들을 토대로 이루어진 문헌연구이므로, 결론에서 제안하는 교수-학습방법이 다른 지도방법과 비교하여 실제로 효과가 있는 지 실험적으로 검증되지 않았기 때문에 후속 실험연구가 필요하다.