近代 幾化學의 形成過程에 關한 硏究

Abstract

數學은 外的인 자극없이 스스로의 體系속에서 發展을 한다는 견해가 있다. 그러나 近代幾何學의 形成過程에 있어서는 막중한 思想的 時代的 요인이 영향을 미쳤으며 現實的으로 科學의 言語로서 새로운 체계가 정비를 필요로 했다. 일반적으로 幾何學은 「空間의 數學」으로 理解되고 있다. 그러나 엄밀한 意味에 있어서 幾何學이 공간의 수학으로 이해된 것은 近世 以後의 일이다. 그리스 幾何學은 삼각형, 원, 球……等 個個의 空間的 形態를 문제삼고 있고 空間 그 자체를 문제삼지 않았다. 古代 그리이스 幾何學은 空間의 學問이 아니다. 플라톤(Platon) 당시에는 幾何學的 方法은 學問 一般의 方法을 뜻했다. 보편성의 희구가 合理를 설정하고 論證의 體系를 成立시켰다. 近代 初期 數學的 方法에 변혁이 생기자 데카르트는 空間論을 幾何學이 아니라 形而上學으로 취급하고서 自然學을 幾何學에 환원시켰고 幾何學的 方法을 內容으로한 空間性은 神의 속성이므로 幾何學的 질서는 世界의 神秘的 秩序라고 생각했다. 이 단계에서는 幾何學은 數學이면서 동시에 自然學이고 形而上學이었다. 이와같이 유크라테스의 기하학에는 플라톤의 철학 데카르트의 자연학 스피노자의 신철학 등에서 볼 수 있는 바와같은 合理的 精神의 반영이었다. 近世의 幾何學은 空間의 本質을 규명한 空間의 學問이며 유크라테스 空間을 一般化시켜 비유크라테스 空間을 形成해 놓았고 空間을 分類하여 기하로서 그 영향을 藝術, 數學, 宗敎, 自然學등에 새로운 양상을 띄게하였다. 이때를 맞이하여 學問의 분리와 內在觀의 확립이라는 時代的 使命을 반영하여 칸트의 순수이성 비판이 나온 것이다. 近世 數學의 특징은 그 空間觀을 바탕으로 하여, 첫째 無限 空間을 數學化함으로써 幾何學을 數學의 一部分이 되게 한 것이고 둘째로는 解釋의 개념을 탄생시킨 것이다. 幾何學을 方法論的으로 볼 때 解釋的方法과 綜合的方法으로 나누는데 古代 幾何學은 有限의 世界에서 도형을 도형으로만 보고 수식화하지 못하는 方法 즉 綜合的인 方法이다. 解釋的 方法으로는 古代 그리이스인들은 數를 도형에서 생각하여 비례와 무리수를 發見한 것을 비롯하여 近世數學에서 무한개념을 ∞라고 기초화 하고 도형을 수식화하여 원, 포물선, 타원의 方程式을 만들었다. 즉 空間의 無限化는 數學을 단순히 기호화하게 하였다. 無限槪念은 +∞, -∞ 뿐만 아니라 無限히 작은 무한소의 개념을 유도하였으며 이 무한개념 △x는 미적분학의 基礎가 되어 數列의 極限, 함수의 극한등으로 發展한다. 近世의 幾何學은 사영기하, 해석기하를 거쳐 위상기하로 發展한다. 위상기하는 空間사이의 연속성을 따지며 空間에 위상을 정한다. 한편 프랑스 革命以後 유럽에서 일어난 새로운 산업구조, 地理上의 發見 등으로 대 항해를 通해 얻은 空間에 關한 새로운 견해는 그 體系를 정비해야 했으며 直接的으로 천문학상의 發見으로 우주관, 공간관이 변했다. 이 시기에 때를 맞추어 비유크리트 기하학의 모델이 구면체 또는 곡율이 음인 곡면체로서 區別되어 있으나 처음 그 설정과정에서는 소위 유크리트의 제5공리가 부정되는 것이다. 유크리데스 기하학에서는 우리가 실제로 경험할 수 있는 有限의 空間을 바탕으로 하는 것이 基本的인 입장이다. 그러나 평행 즉 만나지 않는다는 개념속에는 「아무리 연장해도 ……」라는 有限을 벗어난 무한의 사상이 숨겨져 있다. 또 희랍이래 유한 存在論에 의심을 품고 主觀的으로 空間을 設定하는 당시의 文化思潮와 近代로만치츰 形成의 소용돌이 속에서 변화하는 思想的 배경이 새 기하학의 發達過程에 重要한 역할을 한다. 本 論文에서는 數學의 발달과정에서 外的 要因(文化的, 思想的)의 數學에 對한 역할을 考察하며 그 한보기로 近代의 空間觀 즉 近代幾何學과 그 배경인 近代精神을 다음과 같은 順序로 展開하면서 數學은 時代的 社會的 배경과 絶對로 분리될 수 없다는 것을 강조한다. 1. 近代幾何學의 發達 動機 1) 時代的 背景 2) 思想的 背景 2. 近代幾何學의 種類 1) 射影 幾何學 2) 비유크리트 幾何學 3. 대수적견지로 본 기하학;There is a view that mathematics develops itself in its own systems without external stimulus. Especially in the formation of modern geometry, many factors of thought and times influenced on mathematics and actually mathematics should put new systems in good orders as a language of science. But in exact sences it is after modern ages for geometry to be understood as "Mathematics of Space". In greece geometry space itself did not become at issues but each figure of space such as triangle, circle, sphere and so on be-came at issues Ancient greece geometry was not the learning of space. Geometry method meant general methods of learnings in Platont's times. When there was change of mathematical method in modern ages early, "Descarte" reduced natural science to geometry dealing with essay of space as metaphysics not geometry and "Spinoza" thought that geometric method was the ideal order because nature of space was attribute of God. At this steps geometry was metaphics and at the sametime also natural science and mathematics. Such as above mentioned, Euclidean geometry was the spirits of rationality. Modern geometry which is learning of space examining the nature of space and forms non-Euclidean space by generalizing Euclidean space influenced on arts, mathematics, religion and science. Special features of modern mathematis are, first, to make geometry to be one part of mathematics by mathematicizing infinite space, second, to make the concept of analyty. Geometry was devided into analytic method and synthetic method. Ancient geometry was synthetic method which could not make formularizing but figure in finite field. On the contrary ancient greek discovered proportion and inrational number by thinking numbers from figures. But modern mathematics made equation of circle, parabola and ellipse as signizing the concept of infinitity(∞) and formularizing figure. The concept of infinity induced not only (+∞) and (-∞) but also concept of infinitesimal of which differential and integral calculus was based on Δx and Δx was developed to limit of sequence and funtion. Modern geometry developed itself to topology via projective geometry and analytic geometry. Topology is to examine the continuity between spaces and to fix phase of space. On the other hand new view of space which was gained by industrial structure and geographical discovery after french revolution had need of being systemized and actually astronomical discovery changed the outlook of universe and space. Matching with this time non-Euclidean geometry was developed. The fifth postulate of Euclidean geometry is improper in process of formation while model of non-Euclidean geometry is distinguished as pherical surface or curved surface of which curve rate is minus by the development of recent geometry. Euclidean geometry is based on finite space but the concept of parallel has infinite thought. This thesis covers formation process of modern geometry with respect to the background of times and thoughts in non-Euclidean geometry development. Therefore we cannot overlook the fact that philosophy and spirit of times and mathematics have been deeply mixed and tangled together.