RELATIONS에 關한 硏究

Abstract

本 硏究는 主題(Title)에서 보는 바와같이 「Relations에 관한 硏究」로서 이는 한마디로 數學敎育現代化를 위한 하나의 理論的인 現代化라 할 수 있겠다. 數學敎育現代化運動은 現在 凡世界的인 思潮로서 敎學自體의 急進的인 發達과 科學文明의 눈부신 變遷을 그 背景으로 들수 있는데 數學敎育의 內容은 구조, 관계, 도형, 응용의 네 分野로 나눌 수 있으나 이는 各 槪念을 별개의 것으로 나누어 생각하는 것이 아니라 서로 聯關지어 統合하고 構造化하여 하나의 數學으로 보아 나가고자 하는 動向이라 할 수 있다. 즉 數學의 大部分의 分野가 關係라는 槪念에 의해 다뤄져야 한다는 理論이다. 따라서 本 硏究는 이같은 觀點下에서 가장 重要한 槪念이라 볼 수 있고 아직 體系化되지 않은 關係의 硏究를 試圖한 것이다. 內容을 크게 나누어 관계, 함수, 동치관계별로 大別하여 關係에서는 有序雙, 대응도, 開文章(명제함수)등을 定義하였고, 두集合 A, B에서 임의有序雙(a,b)에 대하여 P(a,b)가 참(true) 또는 거짓(false)이 되는 開文章 P(x.y)를 導入하여 R=(A, B, P(x,y)를 關係라하여 A, B에서 P(x,y)란 關係를 關係 R이라 定義하였고, 또한 이때 P(x,y)가 참이되는 R의 解集合이 A×B의 部分集合이 되는 性質을 利用하여 關係 R을 그냥 A×B의 部分集合이라하여 두가지 觀點에서 關係 定義했고, 이에 特別한 性質, 여러 가지 關係의 例등을 통하여 關係를 明確히 했다. 函數에서는 函數가 關係 R의 특수한 경우 즉 R을 A에서 B로의 關係라 할 때 (1) 集合 A의 모든 元素 a를 第1元素로 하는 有序雙,(a,b)가 R에 속하고, (2) R에 元素중에는 같은 第1元素를 갖는 有序雙,이 存在하지 않을 때 關係를 특히 函數라 定義하여 關係의 性質과 倂行 여러 가지 角度에서 函數를 說明했다. 同値關係에서는 關係중 세條件 reflexive law, symmetric law, transitive law를 만족할 때 同値關係라 하는데 Model을 통한 여러 가지 例와 이들 세條件의 論理的獨立性과 A에서 同値關係 R은 A를 같은 同値類의 集合들로 分割한다는 定理를 實例를 들어 說明하였다.