중학교 1학년 학생들의 등호의 이해가 대수 문제 해결에 미치는 영향

Abstract

이 연구에서는 문자가 도입되고 등호에 대한 해석이 다양하게 이루어지는 중학교 수학 7-가 ‘일차방정식’을 학습한 학생들이 산술적 사고에서 대수적 사고로의 전이 과정에서 발생하는 등호 개념에 대한 본질적인 의미를 어느 정도 이해하고 있는지 알아보고, 등호를 단순한 수학적 기호가 아닌 수학적 개념으로 간주하여 학생들이 대수적 사고를 증진시키는데 있어 등호의 중요성을 조명해보고자 하였다. 등호가 무엇을 뜻하는지에 대하여 제한적인 의미를 갖는 것은 학생들이 대수를 학습하는 데에 있어 주요한 장애물 중 하나라고 할 만큼 (Carpenter et al, 2003), 등호의 의미에 대한 이해는 대수적 사고 및 대수 문제 해결과 밀접한 관계를 갖고 있다. 따라서 연구자는 등호를 관계적으로 이해하는 것이 방정식의 문제해결과 유의미한 관계가 있을 것이라고 가정하고 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 등호를 관계적으로 이해하는 것이 수학점수에 영향을 미치는가? 2. 등호를 관계적으로 이해하는 것이 일차방정식 문제해결에 영향을 미치는가?(형태의 문제와 문장제를 구별하여 비교) 3. 방정식 문제 해결 시 등호를 관계적으로 이해하는 것이 대수적 전략(등식의 성질, 이항으로 문제 해결)사용에 영향을 미치는가? 중학교 1학년 5개 학급, 210명의 학생을 대상으로 3장의 검사지를 작성하여 검사한 후, 검사지에 쓰여진 학생들의 답안을 바탕으로 ‘=’의 기호의 이름을 묻고, 등호 개념에 대한 의미를 학생들이 어느 정도 이해하고 있는지 알아보았다. 그리고 등호를 관계적으로 이해한 학생과 그렇지 못한 학생으로 나누어 중간고사 수학성적과 관련이 있는지 비교하고, 일차방정식의 해를 구하는 문제를 일반적인 해를 구하는 형태의 문제와 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 내용으로 구성된 문장제 형태 두 가지로 준비하여 등호를 ‘양변에 오는 대상이 같다’는 관계로 이해하고 있는 학생에게 더 유리한 결과를 얻게 되는지를 알아보았다. 또한 학생들이 대수문제를 해결함에 있어 대수적 전략을 사용함에 있어서도 등호의 이해가 영향력을 미치는지도 조사하였다. 연구 결과,‘=’ 기호의 이름을 ‘등호’가 아닌 ‘~는’, ‘같다’라고 알고 있는 학생 수도 꽤 많은 반면에 등호를 관계적으로 이해하는 학생이 조작적으로 이해하는 학생보다 세 배 이상 많았다. 이는 대부분의 학생들이 등호에 대해 같다는 관계적 의미를 부여하지 못하고 있다는 선행연구와는 다른 결과로써, 많은 학생들이 양팔저울 모델과 등식의 성질을 통해 등호의 의미를 암묵적으로 이해했기 때문이라고 판단되며, 일차방정식을 학습하고 나서 바로 검사를 실시한 것도 도움이 되었으리라 생각이 된다. 또한 등호를 관계적으로 이해한 학생의 집단이 중간고사 수학 점수와 일차방정식 문제의 정답률에서 그렇지 않은 학생의 집단보다 두 배 이상 높았으며, 대수적 전략 사용에 있어서도 관계적 이해를 한 학생의 집단의 평균이 더 높았다. 물론 학생들의 기본적인 수학 능력이 방정식의 문제해결에 큰 영향을 미치고 있었으나 등호를 제대로 이해하고 있는지의 여부도 주요한 독립변수로 작용하였다. 즉, 등호를 조작적인 관점으로 해석하는 경우 학생들은 방정식에서 양변의 대수식을 대상으로 보지 못하게 되며 결국 일차방정식의 의미를 제대로 이해할 수 없게 된다는 한계를 지니게 됨을 알 수 있었다. 본 연구 결과는 많은 학생들이 고전하는 대수 문제 해결에 있어 실질적으로 식을 변형함에 있어 등호가 관계를 나타내고 있다는 개념을 이해하는 것이 우선이 되어야 한다는 것을 보여 준다. NCTM(2000)에서 언급한 것처럼 등호가 뜻하는 동등성의 개념과 그 기호적 표현은 교육과정 전체를 통해 학생들에게 계속 학습되어야 하며, 학생들이 대수를 처음 접하는 방정식 단원에서의 해를 구하는 활동이 기계적인 계산 절차에만 치우쳐 학생들의 사고가 굳어지지 않도록, 그리고 등호를 단순한 수학적 기호가 아닌 수학적 개념으로 이해하고 학습할 수 있도록, 교사는 능동적으로 학생들에게 기호와 연산의 의미를 생각하는 시간을 갖도록 해야 할 것이다.;This study was performed to investigate the degree of understanding equal sign of 7th grader who studied middle school mathematics 7-Ga in which symbolic expressions is introduced and there are various interpretation on equal sign, and the importance of the equal sign in improving algebraic thinking of middle school studants as they understand equal sign as mathematics concept rather than mathematics symbol. As a limited conception of what the equal sign means is one of the major obstruction in learning algebra, understanding of equal sign has close relationship with algebraic thinking and solution. Therefore, I assume that relational understanding of equal sign has correlation with performace for solution of algebraic equation, and performed the study of 5 classrooms in 7th grader's. First of all, subjects are asked the name of symbol '=' to measure the degree of their understanding about equal sign. After the subjects are classified into two groups ; a group that understands equal sign relationally, and the other group that does not. Therefore it is invesigated whether students understanding the equal sign relationally shows better performace or not. Additionally, it is also investigated whetere understanding of equal sign affects algebraic strategy required in solving algebra. The result shows that while there were quite a few students who understands the symbol '=' as equal sign, not 'is' or 'the same as'. However the number of students showing relational understanding on equal sign are three times as many as operational understanding. This is considerably different from many previous studies which demonstrated the students understanding 'the same as' could not endow relational conception. It is maybe because the equal sign indirectly and instinctly through specific feature of equation. Moreover, it might affect as this test has been done right after teaching them first-order equation. The number of students showing relational understanding is more than two times as much as the others, the average of students showing relational understanding is higher in the aspect at using algebraic strategy. Surely, basic mathmatical ability at student affect largely performance on solving first-order equation. However, it is also important factor whether students understand the equal sign correctly. That is, in case that students interpretate the equal sign operaionally. they commit an error in dealing with the equation with algebraic method. The findings in this study shows that all manipulations on equation require understanding the equal sign represents a relation. As recommended by NCTM, the notion at equality and symbolic expression should be learned throughout the whole curriculum. Teachers should actives endow students much more time so that they can approach the equal sign as a mathematical conception in their classrooms.