일차방정식 풀이 과정에서 보이는 오류의 유형 분석 및 교정 지도

Abstract

문제 해결 과정에서 일어나는 학생들의 이해 수준은 그들의 오류 정도로 알 수 있으며, 수학 문제 해결 과정에서 학생들이 범하는 오류는 무작위로 아무렇게나 행하여지는 것이 아니라 그들이 믿고 있는 의미있는 체계적 관계 속에서 오류가 진행되고 있는 바 이러한 오류는 학습자로 하여금 문제 해결을 저해시키는 것은 물론 잘못된 개념의 획득을 가져오게 한다. 따라서 학습하는 과정에서 발생하는 오류가 학습의 실패 원인에 대한 가치있는 정보를 제공해 주고 그 대안을 제시한다는 점에서 효과적인 수학 교육을 위해서는 문제의 결과보다는 문제를 풀어 나가는 과정에서 발생하는 오류에 더 많은 관심을 두어 그 인지적 원인을 파악하고 교정해 나가는 노력이 이루어져야 한다. 따라서 본 연구는 위와 같은 필요성 아래 중학교 2학년 학생들을 대상으로 일차방정식 풀이 과정에서 범하는 오류 유형을 탐구하여 범주화 하였다. 또한, 이러한 오류들을 교정할 수 있는 효과적인 교수법을 알아 보고자, 비교 집단과 실험집단으로 나누어 비교집단의 학생들에게는 학생들로 하여금 일차 방정식을 직접 풀게 하는 수업(직접 풀이법)을 하고 실험집단의 학생들에게는 문제의 풀이 과정 속에 틀린 부분을 학생 스스로 찾게 하여 옳게 고치도록 하는 수업(오류-발견 교수법)을 하여 그 효과를 통계 처리를 통해 알아보고, 또, 각 집단 별로 학생들의 일차방정식 문제 해결 수준에 따라 각 각의 교수 처치 후 유형별 오류 발생 분포 변화를 살펴봄으로써 각 각의 교수법의 효과를 비교, 분석하였다. 연구 문제는 다음과 같다. (1) 일차방정식 풀이 과정에서 중학생들이 흔히 범하는 오류의 유형은 어떤것인가? 일차방정식 유형에 따른, 그리고 일차방정식 문제 해결 수준(상·중·하)에 따른 오류 유형별 발생 빈도의 분포는 어떠한가? (2) 오류-발견 교수법을 실시한 후, 학생들의 일차방정식 풀이 능력은 향상되는가? 또, 일차방정식 문제 해결 수준별로 각 각의 범주화된 오류 유형에서 오류-발견 교수법의 효과는 어떠한가? 연구 결과를 살펴보면, 연구문제 (1)에 대하여서는 사전검사에 나타난 학생들의 오류를 분석하여 <표 6>과 같이 유형 별로 6가지로 범주화 하였다. 개념과 조작이라는 측면의 특성에 따라, 우선 구조적 오류와 실행적 오류 2가지로 분류하고 다시 각각을 세분화 하여 구조적 오류는 대수적 변형의 오류, 개념적 오류, 대수적 조작 규칙의 오류로, 실행적 오류는 주어진 연산 선택의 오류, 수치 연산의 오류, 생략의 오류로 구분하였다. 구조적 오류 중, 대수적 변형의 오류는 주어진 일차방정식의 동치 변형을 통해 해를 찾는 과정에서 논리적인 오류를 범하여 등식의 성립이 이루어지지 않는 경우의 오류를 말하고, 개념적 오류는 일차방정식을 풀기 위해 기본적으로 학생들이 알고 있어야 할 선행 지식을 완전히 알고 있지 못하여 범하는 오류를 말하는데, 방정식의 해, 미지수, 변수, 등식의 성질, '=' 기호 등에 대한 개념적 오류가 발생되었으며, 대수 조작 규칙의 오류는 대수적 연산 규칙을 제대로 알고 있지 못한데서 비롯된 오류이다. 실행적 오류 중, 주어진 연산의 우선 선택의 오류는 수치적 연산 중에서 연산의 우선성에 주의를 기울이지 못하여 발생하는 오류이고, 두번째 수치연산의 오류는 직접적인 수치들의 계산 과정에서 학생들이 흔히 범하는 오류이며, 마지막으로 생략의 오류는 대수적 변형과 수치적 연산의 수행시 변형 이전의 방정식과 동치 형태인 새로운 방정식을 적는 것이 요구되는 데, 이 과정에서 생략을 함으로써 발생되는 오류를 말한다. 오류 유형 별 학생들의 발생 분포를 알아본 결과, 학생들은 실행적 오류보다는 구조적 오류를 더 많이 범하였다. 이는 일차방정식을 푸는 과정에서 연산이나 계산의 실수와 같은 단순한 실행적 오류를 범하기에 앞서 방정식을 풀기 위해 반드시 알아야 하는 개념들을 잘 모르거나 부정확하게 이해하여 적용하는 것과 같은 구조적 오류를 더 많이 범하고 있음을 알 수 있다. 또한 학생들의 일차방정식 문제 해결 수준별로 오류 유형의 분포를 살펴보면, 상위권의 학생들은 전체적으로 몇 몇 유형에서만 적은 수의 오류가 나타난데 비해, 중·하위권 학생들에게서는 골고루 거의 모든 유형에서 오류가 발생했다. 중위권 학생들은 구조적 오류와 실행적 오류의 발생 빈도수가 비슷하였으나, 하위권 학생들은 구조적 오류에서 더 많은 오류를 범해 하위권 학생들에게는 개념 이해에 중점을 둔 수업이 무엇보다 중요하다고 생각된다. 연구 문제 (2)에 대한 연구 결과를 보면, 두 교수법의 학습효과 차이를 알아보기 위해 사후검사 점수를 가지고 독립표본 t검정 결과, t통계값이 -1.157, 유의확률 .250으로 유의수준 .05에서 가설이 기각되어 통계적으로는 두 교수법에 의한 학습 효과의 차이는 유의미하지 않았다. 각 집단의 학생들 수준 별로 교수 처치 후 오류 분포 변화를 통해 교정 상태를 살펴보면, 개념과 관련된 구조적 오류에 대해서는 실험집단의 상·중·하위 수준의 학생들은 각각 66.7%, 48.21%, 39.36%의 교정율을 보였고, 실험집단의 상·중·하위 수준의 학생들은 각각 57.1%, 31.74%, 17.24%의 교정율을 보여 두 교수법 모두 전반적으로 구조적 오류 유형에 대해서는 교정의 효과가 있었다. 특히, 연구 결과 오류-발견 교수법은 개념과 관련된 구조적 오류의 교정에 더 효과적이었다. 실행적 오류 면에서는 실험집단의 중위권 학생들을 제외 하고는 각 집단의 모든 수준에서 사전검사보다 사후검사에서 더 많은 오류가 발생되었다. 생각해 보면, 상위집단의 학생들은 계속된 단순 일차방정식 풀이에 관한 수업에서 흥미를 잃어버리고 지루해함으로써 집중력을 잃어버려, 특히 수치 연산 과정에서 실수를 저지르는 경우가 많았기 때문인 것으로 생각된다. 중위집단의 학생들에게서 각 집단 별로 교정 효과 차이를 보이는 것은 오류-발견 교수법을 받은 학생들은 문제의 풀이 과정 속에 틀린 부분을 찾는 수업을 통해 자연스럽게 문제 풀이 과정에 초점을 맞추게 되고, 단계의 생략없이 체계적으로 과정을 쓰는 습관이 생기게 되며, 나아가 풀이 후 다시 한번 검토하는 행동이 많이 늘면서 비교집단 학생들 보다는 상대적으로 실수가 적었던 것으로 생각된다. 하위 수준의 학생들 또한 사전검사보다 사후검사에서 더 많은 오류를 범했는데, 특히 실험집단의 하위 수준 학생들은 사후 검사 때 모든 유형에서 골고루 오류를 범했는데, 이는 학생들이 풀이 과정에 대해 정확히 이해하지 못한 채 오류-발견 교수법에서 학습지에 제시된 잘못된풀이 과정이 머리속에 남아있어 사후검사에서도 똑같은 오류를 범했기 때문이라고 생각된다. 이상의 결과들을 종합해보면, 두 교수법의 처치 효과는 오류의 범주에 따라 각각 다르게 나타났는데, 구조적 오류에서는 두 교수법 모두 교정 효과가 있었으며 특히, 오류-발견 교수법이 각각의 수준별로 더 높은 교정율을 보였다. 그러나 실행적 오류면에서 두 교수법은 전반적으로 교정율이 좋지 않았지만, 그 중 실험집단의 중위권 학생들에게는 오류-발견 교수법을 통한 교정의 효과가 있었고, 이는 오류-발견 교수법의 수업이 학생들에게 풀이 과정을 중요시 여기게 하고, 더불어 풀이 후 검토 행동을 강화시켰던 것으로 생각된다.;In the process of solving mathematics problems, error made by students is not due to random causes but due to meaningful hierarchical relations followed by them. This error decreases problem solving by students and at the same time they learn wrong concept. Thus the error found during learning process can lead to valuable information of failure of studying and provide other alternatives. Therefore, more attention should be given to error made in solving process rather than final answer for effective mathematics education. Also more effort should be needed to find acknowledge cause and make adjustment for the error. With this idea in mind, this research looks into types of error made in process of solving linear equation by second year middle school students and then categorized. Then to find effective teaching techniques to adjust error, the students are divided into comparison group and experiment group. Comparison group students are taught to solve linear equation by themselves (self solving) and experiment group students are taught to find and fix error in problem solving process by themselves (Error-Detection Instruction). The effects of the instruction are sorted through statistical calculation and adjustment in typical error occurrence distribution is considered after each instruction to compare and analyze effect of them. The followings are questions for the study: 1) What is the type of error often made by middle school students during linear equation solving process? How is distribution of occurrence frequency for each error type in terms of linear equation type and levels (High, Middle, Low) of linear equation problem solving ability? 2) Have students ability of solving linear equation problem improved after Error-Detection Instruction? How effective is Error-Detection Instruction in each categorized error types according to linear equation problem-solving ability levels? The study result for first question is that errors made by students in pre-examination is analyzed and categorized into six types. First, according to characteristics of concept and operation side, the results are divided into structural and executive errors and then each are subdivided. The structural errors are subdivided into algebraic modification error, conceptual error and algebraic operation rule error. The executive errors are subdivided into error of choosing given calculation, numeric calculation error, and omission error. The results of looking through occurrence distribution of students making error for each type are that the students made more structural errors rather than executive errors. Also distribution of error types is looked at according to linear equation problem solving ability levels. High-level students made small number of error in few types of problems while mid and low-level students made errors in every type of problem solving process. In mid-level students, number of structural and executive error is similar while low-level students made more structural errors. Thus, it is important to focus on teaching concept for the low-level students. The study result of second question looks at difference between learning effectiveness of two instruction methods. For this post-examination mark is used to find independent sample t. The result is overruled by predicted level of 0.05, so statistically the difference is not meaningful enough to signify. Students in different ability levels in each group, adjustment status after each instruction through error distribution adjustment is considered. High, mid, low levels of students in comparative group showed adjustment of 66.7%, 48.21% and 39.36% respectively in structural errors while high, mid, low levels of students in experiment group showed adjustment of 57.1%, 31.74% and 17.24% respectively. Overall, both instruction methods are effective in improving structural errors. The results show that especially Error-Detection Instruction is effective in adjusting structural errors related to concept. In executive errors, except mid-level students in experiment group, all level students in each group showed more errors are found in post-examination than pre-examination. This shows that high-level students may have lost their concentration due to lack of interest in tedious linear equation solving class. This is mostly evident in error of numeric value calculation process. The mid-level students in different group show difference in adjustment because students who taught by Error-Detection Instruction learned to find errors in problem solving process. Naturally they focus on problem solving process and learn to write every step of the process without omission. Furthermore they have learned to check their solving process and that may have resulted them to make less error than other group. Low-level students made more errors in post-examination than pre-examination and low-level students in experiment group made errors in all types in post-examination. This may have been due to remembering wrong solving process from Error-Detection Instruction class while they did not have a clear understanding of solving process. Hence making same errors in post-examination. Lastly to integrate all the outcomes, effectiveness of two instruction methods varied according to categorized error. First, in structural errors, two methods are both effective in adjustment and especially Error-Detection Instruction showed higher rate of adjustments in each ability levels. However, overall in executive errors both instruction methods showed low rate of adjustment, except mid level students in experiment group. They have success in adjustment by Error-Detection Instruction. This may be due to the instruction methods, which make students to value solving process and also strengths students to check their answers after solving problems.